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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 18

Combine (11-49) com (11-47) para obter (11=50), da seguinte forma. Faça x = ε k T e obtenha

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h ∫ 0 ∞ x e α + x - 1 d x  

Em seguida, com α positivo, use a relação e α + x   - 1 - 1 = e - α - x 1 - e - α - x - 1 = e - α ( e - x + e - α - 2 x + … )   para obter 11-50.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Primeiro, vamos obter o total número de bósons, já que o problema se relaciona aos fônons, e esses são bósons que tem um spin igual a zero, com isso temos que:

N =   ∫ 0 ∞ N ε e α e ε k T - 1 d ε

Aqui, neste caso, temos que T é a temperatura, k é a constante de Boltzmann, e para os bósons, N ε d ε representa o estado entre a faixa de energia de ε e ε + d ε , esse trecho é representado pela seguinte relação:

N ε d ε = 4 π V h 3 2 m 3 ε   d ε  

Este m é a massa individual das partículas, V obviamente é o volume e o h é a constante de Planck, substituindo isso no total de bósons, nós temos:

N =   ∫ 0 ∞ 4 π V h 3 2 m 3 ε 1 2   d ε e α e ε k T - 1

Bem escabrosa essa integral, não acha? Pois bem, vamos melhorar um pouco mais essas coisas, vamos introduzir uma nova variável:

x = ε k T → d x = 1 k T d ε

Passo 2

Agora, vamos reescrever N em termos de x:

N = 4 π V h 3 2 m 3   ∫ 0 ∞ k T x k T e α e k T x k T - 1 d x

Manipulando um pouco mais essa equação, nós temos:

N = 4 π V h 3 2 m 3 k T 3 2 ∫ 0 ∞ x e α e x - 1 d x

Simplificando um pouco mais...

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 ∫ 0 ∞ x e α + x - 1 d x

Agora, vamos usar a relação que o enunciado nos forneceu:

e α + x   - 1 - 1 = e - α e - x + e - α - 2 x + … x   d x

Passo 3

Agora, fica um trabalho mais “braçal” por assim dizer, se liga no tamanho dessa integral:

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 ∫ 0 ∞ e - α e - x + e - α - 2 x   + … x   d x  

Isolando o termo e - α , nós temos:

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 e - α ∫ 0 ∞ e - x x   d x + ∫ 0 ∞ e - α - 2 x x   d x + …

O termo e - α sempre se repete nas integrais, por isso, vamos simplificar mais um pouco, com isso:

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 e - α ∫ 0 ∞ x e - x   d x + e - α ∫ 0 ∞ e - α - 2 x x   d x + …

Passo 4

Essa última integral, ela é especial, e vai ser definida por uma função chamada de função gamma, que é dada por:

∫ 0 ∞ x n e - a x   d x = Γ n + 1 a n + 1   ,     s e n d o   Γ x = x - 1 !

Com isso, temos que o número de bósons é dado por:

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 e - α Γ 3 2 1 1 3 2 + e - α 1 2 3 2   + …

Vamos calcular o valor de Γ 3 2

Γ 3 2 = 3 2 - 1 ! = 1 2 ! = π 2

Substituindo este valor no número de bósons, nós temos o seguinte resultado (para facilitar as coisas, vamos substituir e - α por A.

N = 2 π V 2 m k T 3 2 h 3 A π 2 1 1 3 2 + A 1 2 3 2 + …  

Simplificando alguns termos, nós temos:

N = 2 π m k T 3 2 V h 3 A 1 + 1 2 3 2 A + …  

Portanto, o número total de bósons será igual a:

N = 2 π m k T 3 2 V h 3 A 1 + 1 2 3 2 A + …

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro