Enunciado

Complete a dedução da fórmula do espalhamento Compton, Equação (38.23), seguindos os passos indicados da equação (38.24) até a Equação (38.27).

Equação (38.23):

λ ' - λ = h m c 1 - cos ⁡ ϕ

Equação (38.24):

p c - p ' c + m c 2 2 = E C 2 = m c 2 2 + P e c 2

Equação (38.27):

m c p ' - m c p = 1 - cos ⁡ ϕ

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho simples para ilustrar o Efeito Compton:

Ok, então um fóton com momento linear p → e comprimento de onda λ vai colidir contra um elétron inicialmente parado.

Depois da colisão, um fóton com momento p → ' e comprimento λ é espalhado a um ângulo ϕ , e o elétron é espalhado com momento P → e .

Nosso objetivo é encontrar a diferença entre os comprimentos de onda λ e λ ' . A chave aqui é aplicar conservação de momento e energia.

Passo 2

Então vamos lembrar da relação relativística para a energia:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

E = m c 2 2 + p c 2

Qual é a energia inicial do sistema? Temos que somar as energias do elétron e do fóton:

E 0 = E 0 e l é t r o n + E 0 f ó t o n

O elétron está parado inicialmente p = 0 , então só vai ter a energia de repouso:

E 0 e l é t r o n = m c 2 2 + 0 ∙ c 2 = m c 2

E o fóton incidente tem momento p → com módulo p . Como a sua massa é m = 0 , a energia do fóton é:

E 0 f ó t o n = 0 ∙ c 2 2 + p c 2 = p c

Então:

E 0 = p c + m c 2

Beleza, e qual é a energia final do sistema?

E f = E f e l é t r o n + E f f ó t o n

Bom, vamos olhar para um instante logo depois da colisão. A energia final do elétron é:

E f e l é t r o n = m c 2 2 + P e c 2

E a energia final do fóton espalhado, que tem momento p ' , é:

E f f ó t o n = 0 ∙ c 2 2 + p ' c 2 = p ' c

Somando essas duas energia finais:

E f = m c 2 2 + P e c 2 + p ' c

Agora, pelo princípio da conservação de energia:

E 0 = E f

p c + m c 2 = m c 2 2 + P e c 2 + p ' c

Para melhorar um pouco, vamos isolar essa raiz quadrada:

p c + m c 2 - p ' c = m c 2 2 + P e c 2

E agora elevamos os dois lados ao quadrado:

p c + m c 2 - p ' c 2 = m c 2 2 + P e c 2

Já melhorou bastante! Agora vamos aplicar o princípio da conservação de momento.

Passo 3

Olhando para o nosso desenho lá do passo 1 , vamos pensar em como fica a conservação de momento:

p → i n i c i a l = p → f i n a l

No início tínhamos apenas o momento do fóton incidente:

p → i n i c i a l = p →

E depois ficamos com os momentos do fóton espalhado e do elétron:

p → f i n a l = p → ' + P → e

Igualando essas duas expressões:

p → = p → ' + P → e

E podemos representar isso por um desenho usando a rega do paralelogramo:

Agora vamos aplicar a lei dos cossenos sobre aquele triângulo de cima.

Os lados com comprimento p e p ' são adjacentes ao ângulo ϕ , e P e é o comprimento do lado oposto, então:

P e 2 = p 2 + p ' 2 - 2 p p ' cos ⁡ ϕ

Ok agora vamos juntar tudo o que temos.

Passo 4

Usando a conservação de energia, nós chegamos nessa equação aqui:

p c + m c 2 - p ' c 2 = m c 2 2 + P e c 2

Temos que “abrir” um pouco mais essa equação, vamos olhar para cada lado separadamente:

E 0 = p c + m c 2 - p ' c 2 E f = m c 2 2 + P e c 2

Começando por E 0 :

E 0 = p c - p ' c + m c 2 2

E 0 = p c - p ' c 2 + 2 m c 2 p c - p ' c + m c 2 2

E 0 = p c 2 - 2 p p ' c 2 + p ' c 2 + 2 m p c 3 - 2 m p ' c 3 + m c 2

Beleza, vamos guardar isso.

Agora vamos olhar para E f :

E f = m c 2 2 + P e c 2

Usando a conservação de momento, a gente encontrou essa equação aqui:

P e 2 = p 2 + p ' 2 - 2 p p ' cos ⁡ ϕ

Substituindo em E f :

E f = m c 2 2 + P e 2 c 2

E f = m c 2 2 + p 2 + p ' 2 - 2 p p ' cos ⁡ ϕ c 2

E f = m c 2 2 + p c 2 + p ' c 2 - 2 p p ' c 2 cos ⁡ ϕ

Agora sim, podemos juntar tudo na equação lá de cima:

E 0 = E f

p c 2 - 2 p p ' c 2 + p ' c 2 + 2 m p c 3 - 2 m p ' c 3 + m c 2 = m c 2 2 + p c 2 + p ' c 2 - 2 p p ' c 2 cos ⁡ ϕ

Vários termos vão se cancelar agora:

- 2 p p ' c 2 + 2 m p c 3 - 2 m p ' c 3 = - 2 p p ' c 2 cos ⁡ ϕ

Reorganizando um pouco:

2 m p c 3 - 2 m p ' c 3 = 2 p p ' c 2 - 2 p p ' c 2 cos ⁡ ϕ

E dividindo tudo por 2 c 2 :

m p c - m p ' c = p p ' - p p ' cos ⁡ ϕ

E agora dividindo tudo por p p ' :

m c p ' - m c p = 1 - cos ⁡ ϕ

Beleza estamos quase na equação que o enunciado pediu!

Passo 5

Agora só falta fazer um último ajuste. Lembra da relação entre o momento e o comprimento de onda?

p = h λ

Então temos:

p = h λ           e           p ' = h λ '

Substituindo isso na equação de cima:

m c ( h / λ ' ) - m c ( h / λ ) = 1 - cos ⁡ ϕ

λ ' h m c - λ h m c = 1 - cos ⁡ ϕ

Agora é só dividir tudo por m c / h :

λ ' - λ = h m c 1 - cos ⁡ ϕ

Pronto! Chegamos na fórmula que o enunciado pediu!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um alvo de molibdênio(z=42) é bombardeado com elétrons de 35,0 keV, produzindo o espectro de raios X da Fig. 40-13. Os comprimentos de ondas das linhas K α e K β são 63,0 e 71,0 p, respectivamente. De
38.40. Um fóton sofre espalhamento no sentido oposto ( θ = 180 ° ) ao de um próton livre que está inicialmente em repouso. Qual deve ser o comprimento de onda do fóton incidente para que ele sofre uma
38.39. Se um fóton com 0,0425 nm de comprimento de onda se choca com um elétron livre e sofre um espalhamento que forma um ângulo de 35,0° com sua direção original, calcule a) a variação no compriment
38.60. Um fóton de raios X incidente sofre espalhamento por um elétron livre que está incialmente em repouso. O fóton é espalhado de volta com um ângulo de 180°, assumindo o sentido oposto ao inicial.