Enunciado

Considere um balão cheio de gás hélio à temperatura ambiente e à pressão atmosférica. Calcule (a) o comprimento de onda de de Broglie médio dos átomos de hélio; (b) a distância média entre os átomos nessas condições. A energia cinética média de um átomo é igual a 3 k T / 2 , onde k é a constante de Boltzmann. (c) os átomos podem ser tratados como partículas nessas condições? Justifique sua resposta.

Passo 1

(a) Podemos relacionar a energia cinética e o momento de cada átomo de hélio:

K = m v 2 2 = p 2 2 m

E substituir p na equação do comprimento de onda de de Broglie:

λ = h p = h 2 m K

Passo 2

Como a questão pede o comprimento médio, vamos usar a energia cinética média do gás:

K m e d = 3 2 k T

Ficamos com:

λ m e d = h 2 m 3 2 k T = h 3 m k T

Podemos multiplicar e dividir por c , para chegarmos aos produtos h c e m c 2 e escrevermos tudo em termos de energia em e V :

λ m e d = h c 3 m c 2 k T

Passo 3

Substituindo m c 2 pela massa de hélio e a velocidade da luz no vácuo, e h c pelos valores das constantes, a gente chega no seguinte:

λ m e d = 1240   e V ∙ n m 3 ( 4 ) ( 938   M e V ) ( 8,62 × 10 - 5   e V / K ) ( 300 K )

λ m e d = 7,3 × 10 - 11

(a temperatura substituída foi a temperatura ambiente 27 °   C ≅ 300 K )

Passo 4

(b) Podemos considerar a distância média como um pequeno volume de forma quadrada de lados iguais com n átomos dentro desse volume, temos então:

n d m e d 3 = 1

d m e d = 1 n 3

Usando a equação dos gases ideias:

P V = n k T

d m e d = 1 P V / k T 3 = k T P 3

Considerando a pressão atmosférica e o volume unitário:

d m e d = 1,38 × 10 - 23 J / K 300 K 1,01 × 10 5 P a 3 = 3,4   n m

Passo 5

Sim, porque o comprimento de onda desses átomos são muito menores que a distância media entre eles.

Resposta

a   λ m e d = 7,3 × 10 - 11

b   d m e d = 3,4   n m

c   S i m

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