Enunciado

Considere dois deslocamentos, um de módulo 3 m e outro de módulo 4 m. Mostre de que forma os vetores deslocamento podem ser combinados para que o módulo do deslocamento resultante seja (a) 7 m, (b) 1 m, (c) 5 m.

Passo 1

Faala ae, beleza?? Aqui, temos dois deslocamentos, ou seja, dois módulos de vetores, que vamos chamar de A → e   B → . Com isso, nossas informações são:

A → = 3   m

B → = 4   m

Beleza? E a questão pede o módulo do vetor resultante desses dois deslocamentos. Vamos chamar esse vetor resultante de   C → , ok?

Para isso, lembraremos que o módulo do vetor resultante é dado pela Lei dos Cossenos:

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre esses dois vetores A → e B → .

Passo 2

(a) Então, vamos lá! Primeiro, queremos que C → = 7   m . Substituindo isso na fórmula do passo anterior:

7 2 = 3 2 + 4 2 - 2 3 4 cos ⁡ θ

49 = 9 + 16 - 2 4 cos ⁡ θ

Fazendo as contas, isolando o cos ⁡ θ :

- 24 cos ⁡ θ = 24

cos ⁡ θ = - 1

Para que o cosseno seja - 1 , temos que o único ângulo possível para gente é o θ = 180 ° . Portanto, se o ângulo entre os vetores deslocamentos é 180 ° , esses vetores podem ser escritos assim:

Passo 3

(b) Agora, queremos que C → = 1   m . Substituindo isso na fórmula do passo anterior:

1 2 = 3 2 + 4 2 - 2 3 4 cos ⁡ θ

1 = 9 + 16 - 24 cos ⁡ θ

Fazendo as contas, isolando o cos ⁡ θ :

- 24 cos ⁡ θ = - 24

cos ⁡ θ = 1

Para que o cosseno seja 1 , temos que o único ângulo possível para gente é o θ = 0 ° . Portanto, se o ângulo entre os vetores deslocamentos é 0 ° , esses vetores podem ser escritos assim:

Passo 4

(c) Queremos que C → = 5   m . Substituindo isso na fórmula do passo anterior:

25 2 = 3 2 + 4 2 - 2 3 4 cos ⁡ θ

25 = 9 + 16 - 24 cos ⁡ θ

Fazendo as contas, isolando o cos ⁡ θ :

- 24 cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Para que o cosseno seja 0 , temos que o ângulo pode ser 90 ° ou 270 ° . Portanto, se o ângulo entre os vetores deslocamentos é 9 0 ° , esses vetores podem ser escritos assim:

E, se for 270 ° :

Beleza?? Acabou! Só isso! 😊

Resposta

(a) 180 ° entre os vetores.

(b) 0 °   e n t r e   o s   v e t o r e s .

(c) 9 0 ° ou 270 ° entre os vetores.

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