Enunciado

Considere um modelo simples do átomo de hélio no qula dois elétrons, cada um deles com massa m, giram em torno do núcleo (carga +2e) na mesma órbita circular. Cada elétron possui momento angular orbital (ou seja, o raio da órbita de menor valor no modelo de Bohr). Suponha que os efeitos de spin possam ser desprezados.

a) Destermine o raio da órbita e a velocidade orbital de cada elétron. (Sugestão: siga o procedimento usado na Seção 38.5 para deduzir as equações (38.12) e (38.13). Cada elétron sofre a ação de uma força de atração do núcleo e de uma força de repulsão do outro elétron).

b) Qual é a energia cinética total dos elétrons?

c) Qual é a energia potencial do sistema (o núcleo e os dois elétrons)?

d) Nesse modelo, qual é a energia cinética necessária para remover ambos os eslétrons afastando-os até o infinito? Como isso se compara com o valor experimental de 79   e V ?

Passo 1

Aplique a lei de Coulomb ao elétron em órbita e defina-a igual à força centrípeta. Existe uma força atrativa com carga + 2e à distância r e uma força repulsiva à distância 2r. Tenos então:

+ 2 e - e 4 π ϵ 0 r 2 + - e - e 4 π ϵ 0 2 r 2 = - m v 2 r

Mas a partir da quantização do momento angular na primeira órbita do módelo de Bohr:

L = m r v = ℏ

Então:

v = ℏ m r

Passo 2

a) Desta forma podemos juntar as duas equações para obter o valor do raio r e em seguida poder calcular o valor da velocidade.

- 2 e 2 4 π ϵ 0 r 2 + e 2 4 π ϵ 0 2 r 2 = - m v 2 r = - ℏ 2 m r 3

Isolando o raio:

r = 4 7 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2 = 4 7 a 0

r = 4 7 0,529 ⋅ 10 - 10 m = 3,02 ⋅ 10 - 11   m

Vamos agora calcular a velocidade:

v = - ℏ m r = 7 4 ℏ m a 0 = 7 4     1,054 ⋅ 10 - 34 J s 4 9,11 ⋅ 10 - 31   k g 0,529 ⋅ 10 - 10 m = 3,83 ⋅ 10 6   m / s

Passo 3

b) A energia cinética pode ser calculada a partir da equação:

K = 2 1 2 m v 2

Substituindo os valores:

K = 9,11 ⋅ 10 - 31   k g 3,83 ⋅ 10 6   m / s = 1,34 ⋅ 10 - 17   J = 83,5   e V

Passo 4

c) A energia potencia pode ser calculada a partir da equação:

U = 2 - 2 e 2 4 π ϵ 0 r + e 2 4 π ϵ 0 2 r = - 4 e 2 4 π ϵ 0 r + e 2 4 π ϵ 0 2 r

U = - 7 2 e 2 4 π ϵ 0 r = - 2,67 ⋅ 10 - 17 J = - 166,9   e V

Passo 5

d) A energia cinética necessária para remover ambos os elétrons e afastanto eles até o infinito é:

E ∞ = - - 166,9   e V + 83,5   e V = 83,4   e V

Que corresponde a apenar 5 % do valor real que é 79 eV.

Resposta

a) v = 3,83 ⋅ 10 6   m / s

b) K = 83,5   J

c) U = - 166,9   e V

d) E ∞ = 83,4   e V

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