Enunciado

Considere um paciente submetido a um tratamento de tração como indica a figura G.1.6.

Qual a máxima massa a ser utilizada para produzir a forca tênsil T → sem que o paciente se desloque ao longo da cama? Sabe-se que a massa desse paciente e 60kg, o coeficiente de atrito entre o mesmo e a cama e μ = 0,20   ,e o angulo que a forca tênsil forma com a horizontal e 23   ° .

Passo 1

Primeiramente vamos fazer o diagrama de corpo livre, para esquematizar todas as forças que atuam no corpo:

Com o DCL todo esquematizado, fica fácil ver todas as forças atuantes no sistema.

Considere a circunferência menor como a cabeça do paciente.

Passo 2

Para o corpo permanecer em repouso, analisando o DCL, temos que:

F → a t ≥ T → x   :

Passo 3

Agora vamos analisar as forças, em cada referencial:

Na horizontal:

F → a t = T → x         I

Vamos analisar em particular, cada uma dessas duas forças:

Passo 4

A força de atrito é calculada em função da força normal N → :

F a t = N → ⋅ μ         I I

T → x é a componente horizontal da força tênsil T → :

T → x = T → ⋅ cos ⁡ 23 °       ( I I I )

Subst. I I I   e   I I   e m   I , ficamos com nossa nova equação na horizontal:

N → ⋅ μ = T → ⋅ cos ⁡ 23 °       I V

Passo 5

Vamos calcular as forças na vertical:

N → + T → y = P → p a c i e n t e          

N → = P → p a c i e n t e - T → y       V

Vamos analisar cada força da equação V   em particular:

Passo 6

P → p a c i e n t e = m p a c i e n t e ⋅ g       V I

T → y é a componente vertical da força tênsil T → :

T → y = T → ⋅ sin ⁡ 23 °       V I I

Subst. V I   e   V I I   em V , temos então nossa relação na vertical:

N → =   m p a c i e n t e ⋅ g - T → ⋅ sin ⁡ 23 °     V I I I  

Subst. V I I I   e m   I V :

m p a c i e n t e ⋅ g - T → ⋅ sin ⁡ 23 ° ⋅ μ = T → ⋅ cos ⁡ 23 °     I X  

Passo 7

Vamos analisar o bloco de massa m :

O fio que sai da cabeça do paciente, é o mesmo que prende o bloco, a tensão T → no fio é igual nos dois pontos:

Podemos determinar a tensão no fio como:

T → = P → b l o c o    

P → b l o c o é a força peso do bloco:

P → = m b l o c o ⋅ g

Então nossa tensão no fio é dada por:

T → = m b l o c o ⋅ g       X

Subst. X   e m   I X :

m p a c i e n t e ⋅ g - m b l o c o ⋅ g ⋅ sin ⁡ 23 ° ⋅ μ = m b l o c o ⋅ g ⋅ cos ⁡ 23 °

Agora vamos isolar m b l o c o :

Passo 8

m b l o c o ⋅ g   ⋅ cos ⁡ 23 ° = m p a c i e n t e ⋅ g - m b l o c o ⋅ g   ⋅ sin ⁡ 23 ° ⋅ μ      

m b l o c o ⋅ g   ⋅ cos ⁡ 23 ° = μ ⋅ m p a c i e n t e ⋅ g - μ ⋅ m b l o c o ⋅ g   ⋅ sin ⁡ 23 °

Simplificando g dos dois lados, temos:

m b l o c o ⋅ cos ⁡ 23 ° = μ ⋅ m p a c i e n t e - μ ⋅ m b l o c o sin ⁡ 23 °

m b l o c o ⋅ cos ⁡ 23 ° + μ ⋅ m b l o c o sin ⁡ 23 ° = μ ⋅ m p a c i e n t e

Tirando m b l o c o em evidência temos:

m b l o c o ⋅ cos ⁡ 23 ° + μ ⋅ sin ⁡ 23 ° = μ ⋅ m p a c i e n t e

m b l o c o = μ ⋅ m p a c i e n t e cos ⁡ 23 ° + μ ⋅ sin ⁡ 23 °

Subst. os valores numéricos chegamos que m b l o c o é:

m b l o c o = 0,2 ⋅ 60 cos ⁡ 23 ° + 0,2 ⋅ sin ⁡ 23 °

Resposta

m b l o c o ≅ 13,05 k g

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