Enunciado

Considere os três processos indicados na Fig. 42-14 para o núcleo composto N e 20 . As massas das partículas envolvidas são as seguintes:

N e 20 → 19,99244   u

F 19 → 18,99840   u

O 16 → 15,99491   u

α → 4,00260   u

p → 1,00783   u

Que energia deve ter (a) a partícula alfa; (b) o próton e (c) o fóton de raios γ para que o núcleo composto seja formado com uma energia de excitação de 25,0   M e V ?

Passo 1

Bom, primeiro vamos analisar os três processos de obtenção do núcleo composto N e 20 :

O 16 + α → N e 20

F 19 + p → N e 20

N e 20 + γ → N e 20

Em geral, podemos tratar esses processos como

X + x → Y

Vamos considerar inicialmente que o núcleo X está em repouso e é “bombardeado” por x . Pela conservação da energia:

E X + E x = E Y

Como o núcleo X está em repouso, temos que sua energia corresponde apenas a energia de repouso:

E X = m X c 2

Já para a partícula Y , temos a energia de repouso, a energia cinética e a energia de excitação E do núcleo:

E Y = m Y c 2 + K Y + E

Temos então:

m X c 2 + E x = m Y c 2 + K Y + E

O grande problema aqui é como relacionar a energia E x com o resto do problema: isso que vamos discutir nos próximos passos...

Passo 2

Nos itens (a) e (b), a partícula representada por x é realmente uma partícula: partícula alfa e próton. Assim, temos que

E x = m x c 2 + K x

Assim,

m X + m x - m Y c 2 + K x = K Y + E ⇒ K x - K Y = m Y - m X - m x c 2 + E

Agora vamos relacionar K x com K Y . Para isso, usamos a conservação do momento linear:

p X + p x = p Y

Como p X = 0 :

p x = p Y

Usando as expressões clássicas para a energia cinética:

K Y = p Y 2 2 m Y = p x 2 2 m Y ⋅ m x m x = m x m Y ⋅ p x 2 2 m x = m x m Y K x

Portanto,

1 - m x m Y K x = m Y - m X - m x c 2 + E

Assim,

K x = m Y - m X - m x c 2 + E 1 - m x m Y

Passo 3

Para o item (a), temos que m Y = 19,99244   u , m x = 4,00260   u e m X = 15,99491   u :

K α = 19,99244   u - 15,99491   u - 4,00260   u ⋅ 931,5 M e V u + 25,0   M e V 1 - 4,00260 19,99244

Assim,

K α = 25,4   M e V

Já no item (b), temos que m Y = 19,99244   u , m x = 1,00783   u e m X = 18,99840   u :

K p = 19,99244   u - 18,99840   u - 1,00783   u ⋅ 931,5 M e V u + 25,0   M e V 1 - 1,00783 19,99244

Logo,

K p = 12,8   M e V

Passo 4

No item (c) a brincadeira é um pouco diferente. Vamos partir da equação

m X c 2 + E x = m Y c 2 + K Y + E

Aqui, m X = m Y , de modo que

E x = K Y + E

Sabemos que

K Y = p Y 2 2 m Y

Pela conservação do momento, p x = p Y , de modo que

K Y = p x 2 2 m Y

Por outro lado, como x representa um fóton, temos que

p x = E x c ⇒ K Y = E x 2 2 m Y c 2

Desta forma, a equação da energia fica

E x = 1 2 m Y c 2 E x 2 + E ⇒ 1 2 m Y c 2 E x 2 - E x + E = 0

Essa é uma equação de segundo grau. Vamos resolvê-la:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1 2 - 4 ⋅ 1 2 m Y c 2 ⋅ E = 1 - 2 E m Y c 2

Portanto,

E x = - - 1 ± Δ 2 ⋅ 1 2 m Y c 2 = m Y c 2   1 ± 1 - 2 E m Y c 2

A solução com o sinal de corresponde a solução relativística:

E x = m Y c 2   1 - 1 - 2 E m Y c 2

Temos que

m Y c 2 = 19,99244   u ⋅ 931,5 M e V u = 1,862 ⋅ 10 4   M e V

Assim,

E x = 1,862 ⋅ 10 4   M e V ⋅ 1 - 1 - 2 ⋅ 25,0   M e V 1,862 ⋅ 10 4   M e V

De modo que

E x = E γ = 25,0   M e V

Resposta

K α = 25,4   M e V

K p = 12,8   M e V

E γ = 25,0   M e V

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