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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 83

Um corpo move-se sujeito a uma força constante F , através ele um fluido que resiste ao movimento com uma força proporcional ao quadrado da velocidade, isto é F = - k v 2 .Mostre que a velocidade limite é v L = F / k . Prove que a relação entre a velocidade e a distância é v 2 = ( F / k )   +   v 0 2 - F / k e - 2 k m x   . Faça um gráfico de v 2 versus x para v 0 = 0 . Se a força deixa de atuar quando a partícula atinge a velocidade limite, mostre que a velocidade ela partícula fica reduzida a 1 / e do valor da velocidade limite após percorrer a distância m / k .

Passo 1

E aí, beleza?? A equação do movimento é:

m a = F - k v 2

Para a velocidade limite:

a = 0 ∴ v 2 = F k ∴   v l = F k

Passo 2

Para v ( x ) , temos:

m a = m v d v d x = F - k v 2 = k F k - v 2

Portanto:

v   d v v l 2 - v 2 = k m d x

Escrevendo em termos de frações parciais, vem:

v v l 2 - v 2 = 1 2 1 v l - v - 1 v l + v

Assim:

∫ v 0 v 1 v l - v - 1 v l + v d v = 2 k m x

Resolvendo a integral:

ln ⁡ 1 v l - v 2 - ln ⁡ v l 2 - v 2 v 0 v = - ln ⁡ v l 2 - v 2 v l 2 - v 0 2 = 2 k x m

Assim, chegamos em:

v 2 = v l 2 - v l 2 - v 0 2 e - 2 k m t

Ou ainda:

v 2 = F / k + v 0 2 - ( F / k ) e - 2 k m t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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