Uma criança de massa m senta-se num balanço de massa desprezível, cujos cabos tem um comprimento L. Suponha que as dimensões sejam desprezíceis comparadas com L. O pai puxa a criança pelas costas até o cabo fazer um anulo de um radiano com a vertival e, então, a empurra com uma força F=mg ao longo do arco de círculo até que o cabo esteja na vertical e solta o balanço.

  1. Que altura atinge o balanço?
  2. Por quanto tempo o pai empurrou o balanço?

(Suponha que seja permitido escrever s e n   θ = ˙ θ   p a r a   θ < 1 ). Compare com o tempo necessário para o balanço atingir a vertical, caso ele seja largado sem ser empurrado.

Passo 1

θ 0 = 1   r a d

  1. Energia total θ = 0 0 = 0   r a d
  2. Potencial: m g h 1 = m g l   ( 1 - c o s θ 0 )

    Trabalho realizado por F = m g   junto são de θ 0   → 0

    W = - ∫ m g d r  

    = - ∫ θ 0 0 m g l d θ

    = + m g l θ 0

    E T = m g h 1 + W

    = m g l ( 1 - cos ⁡ θ 0 + θ 0 )

    E T = m g l ( 2 - cos ⁡ 1 )

    Quando θ = 0 toda a energia é potencial

    P E = E T    

    m g l 1 - c o s θ = m g l 2 - cos ⁡ 1    

    1 - c o s θ = 2 - cos ⁡ 1 - 1  

    c o s θ = cos ⁡ 1 - 1

      c o s θ = - 46

    θ = 2.05   r a d = 117 °

    Passo 2

  3. I θ ¨ = - m g l   s e n θ - m g l ,     θ 0 < θ < 0

m l 2 θ ¨ = - m g l   s e n θ - m g l  

θ ¨ = - g l s e n θ - g l

θ ¨ + g l s e n θ = - g l

θ ¨ + g l θ = - g l         ( a s s u m i n d o   s e n θ = ˙   θ   p a r a   θ < 1 )

θ k = A   c o s   w 0 t + B   s e n   w 0 t ,         w 0 = g l

Tendo θ p = A

g l A = - g l         → A = - 1

θ t = A   c o s   w 0 t + B   s e n   w 0 t - 1

θ 0 = θ 0 = 1 = A - 1    

1 = A - 1  

A = 2

θ t = A w 0   s e n   w 0 t + B w 0   c o s   w 0 t

θ 0 = 0 = B w 0

B = 0

θ = 2 cos ⁡ w 0 t - 1

0 = 2 cos ⁡ w 0 t - 1  

cos ⁡ w 0 t = 1 2      

w 0 t = c o s - 1 1 2  

w 0 t = π 3    

t = π 3 w 0 - 1  

t = π 3 l g 1 2

Resposta

  1. θ = 2.05   r a d = 117 °
  2. t = π 3 l g 1 2