Um cubo com 2 cm de lado é cortado em cubos de 1 cm de lado.

a. Quantos cubos se obtém?

b. Qual era a área superficial original do cubo e quanto vale a área total dos oito cubos menores? Qual é a razão entre as áreas superficiais?

c. Mostre que a razão superfície/volume do cubo menor é duas vezes maior do que a de um único cubo maior.

Passo 1

Fala galerinha. Tudo tranquilo? Espero que sim.

Nessa questão temos um cubo de 2   c m de lado que é cortado em cubos menores de 1   c m de lado. Ele pergunta com quantos cubos eu fico, qual a área superficial do cubo original (o que foi cortado em cubos menores) e a área total dos cubos menores e a razão entre suas áreas e por fim, mostrar que a razão entre a superfície/volume do cubo menor é duas vezes maior que do cubo maior.

Pra quem não lembra, a área superficial de um cubo é A s = 6 l 2 sendo l o lado do cubo e seu volume é V = l 3 .

Passo 2

Primeiro, quantos cubos eu fico se fizer isso. Vamos pensar. Se o cubo final vai ter 1   c m de lado, vou cortar na metade das faces. Vou fazer esse corte em 4 faces, as de cima e do lado, porque assim, já vou cortar todo o cubo. Então vamos ter 4 cortes e em cada corte eu fico com duas partes, então, vou ter 8 cubos no final.

Passo 3

A área superficial do cubo original é A s = 6 l 2 com l = 2 . Substituindo fico com

A s 1 = 6 ∙ 2 2 = 6 ∙ 4 = 24   c m 2

Agora para os cubos menores, temos que o lado é l = 1 , temos

A s 2 = 6 ∙ 1 2 = 6 ∙ 1 = 6   c m 2

Para a razão entre as áreas superficial temos

A s 1 A s 2 = 24 6 = 4

Assim, a área superficial do cubo maior é 4 vezes maior que a área dos cubos maiores.

Passo 4

Para a razão superfície volume, temos para o cubo menor

A superfície do cubo menor é 6   c m 2 como calculado no passo 2. Para o volume, temos

V 2 = l 3

Substituindo l = 1 temos

V 2 = 1 3 = 1   c m 3

A razão superfície volume para o cubo menor é

A s 2 V 2 = 6 1 = 6

Para o cubo maior temos A s 1 = 24   c m 2 e para o volume temos

V 1 = 2 3 = 8   c m 3

Então, a razão superfície volume para o cubo maior temos

A s 1 V 1 = 24 8 = 3

Para o cubo original temos que a razão é 3 e para o cubo menor a razão é 6 . Assim, a razão do cubo menor é duas vezes a do cubo maior.

Resposta

Se obtém 8 cubos menores.

A área superficial do cubo original vale 24   c m 2 . E a área dos cubos menores vale 6   c m 2 . A razão entre as áreas é 4 .

A razão superfície volume para o cubo menor vale 6 . Para o cubo maior, a razão vale 3 . Então a razão do cubo menor é 2 vezes maior que do cubo maior.

Mais uma feita. Bora mais uma?

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