Enunciado

Um curral retangular de dimensões L x = L e L y = 2 L contém um elétron. Determine em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron; (b) a energia do primeiro estado excitado; (c) a energia dos primeiros estados degenerados; (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estados excitados.

Passo 1

Vamos usar a equação para o elétron confinado no curral:

E n x , n y = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

A questão pede para separarmos em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , vamos multiplicar e dividir o lado direito por L 2 :

E n x , n y = h 2 8 m L 2 L 2 n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

E passar a primeira parte do lado direito para a esquerda, para que a resposta fique em múltiplos:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

Como o enunciado diz que as dimensões do curral são L x = L e L y = 2 L :

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L 2 + n y 2 4 L 2 = n x 2 + 0,25 n y 2

Passo 2

(a) Para o estado fundamental n x = n y = 1 , então:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = 1 + 0,25 = 1,25

Passo 3

(b) O primeiro estado excitado será com n x = 1 e n y = 2 (o contrario daria uma energia maior por causa do fato 0,25). A razão desse estado é:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = 1 + 1 = 2,00

Passo 4

Os estados degenerados (que possuem a mesma energia) serão n x = 1 , n y = 4 e n x = 2 , n y = 2 . Onde a razão será:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = 4 + 0,25 4 = 5,00

Passo 5

O segundo estado excitado corresponde a n x = 1 , n y = 3 , sendo a razão igual a:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = 1 + 0,25 9 = 3,25

E o terceiro estado excitado é n x = 2 , n y = 1 , o que resulta a razão:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = 4 + 0,25 1 = 4 , 25

A diferença entre eles é:

4,25 - 3,25 = 1,00

Resposta

a   1,25

b   2,00

c   5,00

d   1,00

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