Demonstre as Eqs. (3.54) e (3.55), a partir da definição (3.52), para diferenciar vetores.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Primeiro vamos provar a equação (3.54)

d d t A - + B - = d A - d t + d B - d t

d A - d t = lim ∆ t → 0 ⁡ A - t + ∆ t * A - t ∆ t

d d t A - + B - = lim ∆ t → 0 ⁡ A - t + ∆ t + B - t + ∆ t - A - t + B - t ∆ t    

= lim ∆ t → 0 ⁡ A - t + ∆ t - A - t + B - t + ∆ t - B - t ∆ t

= lim ∆ t → 0 ⁡ A - t + ∆ t - A - t ∆ t + lim ∆ t → 0 ⁡ B - t + ∆ t - B - t ∆ t    

= d d t A - + B - = d A - d t + d B - d t

Passo 2

Para provar a equação (3.55) iremos usar

d d t f A - = d f d t A - + f d A - d t        

D e f n :   d A - d t = lim ∆ t → 0 ⁡ A - t + ∆ t - A - t ∆ t

d d t f A - = lim ∆ t → 0 ⁡ f t + ∆ t A - t + ∆ t - f t A - t ∆ t  

= lim ∆ t → 0 ⁡ f t + ∆ t A - t + ∆ t - A - t + A - t f t + ∆ t - f t ∆ t

= lim ∆ t → 0 ⁡ f t + ∆ t A - t + ∆ t - A - ( t ) ∆ t + l i m ∆ t → 0 A - t f t + ∆ t - f t ∆ t

= l i m ∆ t → 0 f t + ∆ t     l i m ∆ t → 0 A - t + ∆ t - A - t ∆ t + l i m ∆ t → 0     A - t     l i m ∆ t → 0   f t + ∆ t - f t ∆ t    

d d t   f A - = f d A - d t + A - d t d t      

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)