Enunciado

Demonstre a expressão (15-16) que relaciona o valor de Q de uma reação nuclear com as quantidades dinâmicas envolvidas na reação. (Sugestão: Escreva as equações de conservação das componentes do momento linear relativas às direções paralelas e perpendicular

à direção da partícula incidente. Elimine em seguida destas equações o ângulo formado

pela direção do núcleo residual e a direção da partícula incidente.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

a + A → B + b

Aqui, a é uma partícula de bombardeio que interage com um núcleo alvo A para produzir um núcleo residual B e uma partícula de produto b. Aplicando a conservação de momento de modo separado, isso às direções paralelas e perpendiculares ao caminho da partícula de bombardeio e definindo os termos iguais entre si, nós teremos os componentes do momento na direção paralela antes e depois da colisão.

p a = p b cos ⁡ θ + p B cos ⁡ ϕ

Aqui, p B e p b são os momentos do núcleo residual e da partícula de produto, e p a é o momento da partícula de bombardeio, que por definição, só tem um componente nesta direção, θ é o ângulo entre o caminho da partícula de produto e a direção e finalmente ϕ é o ângulo entre o caminho do núcleo residual e a direção paralela. Aplicando a conservação do momento na direção perpendicular, nós temos:

0 = p b sin ⁡ θ + p B sin ⁡ ϕ

Passo 2

Rearranjando os termos na equação paralela para isolar o momento do núcleo residual, nós temos:

p B cos ⁡ ϕ = p a - p b cos ⁡ θ

Elevando os dois termos ao quadrado, obtemos o seguinte resultado:

p B cos ⁡ ϕ 2 = p a - p b cos ⁡ θ 2

Desenvolvendo os termos, nós temos:

p B 2 cos 2 ⁡ ϕ = p a 2 - 2 p a p b cos ⁡ θ + p b 2 cos 2 ⁡ θ

Reorganizando os termos na equação perpendicular para isolar o momento residual do núcleo

p B sin ⁡ ϕ =   - p b sin ⁡ θ

Elevando também esses dois termos, nós obtemos o resultado:

p B sin ⁡ ϕ 2 = - p b sin ⁡ θ 2

p B 2 sin 2 ⁡ ϕ = p b 2 sin 2 ⁡ θ

Somando as equações paralelas e perpendiculares, nós temos:

p B cos 2 ⁡ ϕ + p B sin 2 ⁡ ϕ = p a 2 - 2 p a p b cos ⁡ θ + p b 2 cos 2 ⁡ θ + p b 2 sin 2 ⁡ θ

Agrupando os termos com fatores comuns:

p B 2 cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ = p a 2 - 2 p a p b cos ⁡ θ + p b 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Usando a definição trigonométrica (essa mesmo que você está pensando, que é a relação fundamental da trigonometria)

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Substituindo o 1 na equação gerada acima, nós obtemos o seguinte resultado:

p B 2 = p a 2 - 2 p a p b cos ⁡ θ + p b 2

Passo 3

Agora, vamos supor que todas as partículas na reação tenham energia cinética pequena em comparação com suas energias/massas de repouso, para isso nós vamos usar a definição clássica da energia cinética (K) em termos de momento p e massa m:

K = p 2 2 m

Resolvendo para p, nós temos:

p 2 = 2 m K

Com isso, nós temos:

p = 2 m K

Usando esta relação para substituir 2 m a K a para p a , e segue para todos os outros termos na equação de conservação de momento, com isso, nós temos:

2 m B K B 2 = 2 m a K a 2 - 2 2 m a K a 2 m b K b cos ⁡ θ + 2 m b K b 2

Desenvolvendo o termo, nós temos:

2 m B K B = 2 m a K a - 2 4 K a K b m a m b cos ⁡ θ + 2 m b K b

Desenvolvendo um pouquinho mais (vai por mim, é para facilitar o trabalho)

2 m B K B = 2 m a K a - 4 K a K b m a m b cos ⁡ θ + 2 m b K b

Dividindo por 2 m B para obter K B , nós temos:

K b = 1 2 m B 2 m a K a - 4 K a K b m a m b cos ⁡ θ + 2 m b K b

Desenvolvendo este termo, temos que:

K B = 2 m a 2 m B K a - 4 2 m B K a K b m a m b cos ⁡ θ + 2 m b 2 m B K b

Com isso, temos o seguinte resultado (fazendo as devidas simplificações)

K B = m a m B K a - 2 m B K a K b m a m b cos ⁡ θ + m b m B K b

Passo 4

O valor Q desta reação nuclear é dado em termos das energias cinéticas das partículas antes e depois da reação com a seguinte relação:

Q = K B + K b - K a

Aqui, K b e K a são as energias cinéticas da partícula do produto e partícula de bombardeio, respectivamente, com isso, o núcleo alvo é assumido como em repouso, com isso, sua energia cinética é igual a zero. Agora nós temos que substituir a expressão obtida para a energia cinética do núcleo residual por K B no valor-Q

Q = m a m B K a - 2 m B K a K b m a m b cos ⁡ θ + m b m B K b + K b - K a

Agrupando os fatores comuns na equação, temos que

Q = K b 1 + m b m B - K a 1 - m a m A - 2 m B K a K b m a m b cos ⁡ θ  

Portanto, no limite clássico, o valor-Q em uma reação nuclear é igual a:

Q = K b 1 + m b m B - K a 1 - m a m A - 2 m B K a K b m a m b cos ⁡ θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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