Demonstre as seguintes desigualdades, dando, para cada uma, uma demonstração geométrica e outra algébrica (em termos de componentes):

  1. A - + B - ≤ A - + B - .

Passo 1

Então vamos para mais uma questão? Primeiro vamos representar geometricamente:

A distância mais curta entre O e P é uma linha reta. O comprimento A - + B - é a distância mais curta. Qualquer outro caminho, O-Q-P tem um comprimento de A - + B - . E Q está em OP então A - + B - = A - + B - caso contrário A - + B - > A - + B -

Passo 2

Agora vamos para a parte algébrica.

A - = A x ² A y ²         B - = B x ² B y ²      

  A - + B - = A x + B x 2 + A Y B Y 2   →   A - + B - = A x 2 + A y 2 + B x 2 + B y 2  

A - + B - 2 = A x B x 2 + ( A y B y ) ²    

A - + B - 2 = A x 2 A y 2 + B x 2 + B y 2 + 2   A x 2 A y 2 B x 2 B y 2    

A - + B - 2 = A x 2 + 2 A x B x + B x 2 + A y 2 + 2 A y B y + B y 2  

= A x 2 + A y 2 + B x 2 + B y 2 + 2 A x B x + 2 A y B y

A - + B - 2 - A - + B - 2 = 2 A x 2 A y 2 B x 2 B y 2 - 2 A x B x + A y B y

= 2 A x B x 2 + A x B y 2 + A y B x 2 + A y B y 2 + 2 ( A x B x + A y B y )

Passo 3

Vamos comparar os termos diferentes:

2 A x B x 2 + A x B y 2 + A y B x 2 + A y B y 2   ≠ 2 A x B x + A y B y

  A x B x 2 + A x B y 2 + A y B x 2 + A y B y 2 ≠ A x B x + A y B y 2  

≠ A x B x 2 + 2 A x A y + B x B y + A y B y 2

A x B y 2 + A y B x 2 ≠ 2 A x A y + B x B y

A x B y 2 + A y B x 2 A x A y + B x B y = 2  

A x B y A y B x + A y B x A x B y = 2

Passo 4

Assumimos B x = α A x E B Y = φ A y

A x φ A y A y α A x + A y α A x A x φ A y = 2

  φ α + α φ = 2    

φ 2 + α 2 = 2 α φ    

φ 2 - 2 α φ + α 2 = 0  

φ - α 2 = 0   →   φ - α 2 ≥ 0

Então

φ 2 - 2 α φ + α 2 ≥ 0  

  φ 2 + α 2 α φ ≥ 2  

  φ α + α φ ≥ 2    

Portanto

A - + B - 2 - A - + B - ≥ 0       →   A - + B - 2 ≥   A - + B -    

Resposta

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