Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tem quando pesa um homem . Se o movimento for criticamente amortecido, determine a constante da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento . Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. Se um homem de subir na balança, qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele, enquanto a plataforma volta a posição de repouso?
Passo 1
Oiii, tudo certinho?
Vamos começar então! Temos que quando uma massa de é utilizada neste sistema, ele causa com que o sistema de molas da balança entre em um movimento criticamente amortecido, portanto, temos que a seguinte expressão tem validade:
Nós também sabemos que ao subir na balança, temos uma deflexão de . Precisamos usar isso para achar as constantes que ele pede primeiro, okay?
Passo 2
Se considerarmos que o sistema está em equilíbrio quando atinge a deflexão de é possível utilizar a segunda lei de Newton para obter a constante da mola, uma vez que o amortecimento no equilíbrio não tem efeito (), temos que:
Vamos achar agora a constante . Bora lá!
Passo 3
Como esse é um amortecimento crítico, temos que:
Beleza, já temos mais uma informação. Agora vamos ver se isso é o suficiente para mostrar que uma pessoa mais leve entraria em um movimento superamortecido.
Passo 4
A relação que utilizamos anteriormente para o amortecimento crítico é tal que:
Se temos o valor obtido anteriormente para e o valor obtido para , isto está relacionado à massa de , de forma que , se tivermos uma massa , necessariamente temos que . Essa desigualdade final garante que uma pessoa mais leve estará em um movimento superamortecido.
Beleza, vamos fazer a última parte da questão e calcular a força máxima que a balança exerce sobre o homem, bora lá!
Passo 5
Como o homem sofre um movimento amortecido crítico, se considerarmos que ele parte do repouso, seu amortecimento toma a seguinte forma:
Este formato surge da solução da equação diferencial não-homogênea nas condições dada do problema. A força máxima pode ser obtida lembrando a definição de máximo de uma função, onde é necessário que:
Note que a desigualdade é o contrário do que estamos acostumados pois nossa força é em geral negativa neste sistema de coordenada que escolhemos. Como temos que , podemos calcular as condições acima tendo em vista a nossa solução! Bora lá!
Passo 6
Temos que:
Se escolhermos nosso sistema de coordenadas tomando , temos que:
Ou seja, a força máxima acontece no instante inicial de tempo, o que faz sentido, já que estamos iniciando a nossa contagem temporal na compressão máxima da mola. Agora para a segunda derivada, temos:
Que é necessariamente maior do que zero, portanto é realmente um ponto de máximo, desta forma nossa força máxima toma a forma:
A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos.