Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tem 2,5   c m quando pesa um homem 91   k g . Se o movimento for criticamente amortecido, determine a constante k da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento b . Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. Se um homem de 91   k g subir na balança, qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele, enquanto a plataforma volta a posição de repouso?

Passo 1

Oiii, tudo certinho?

Vamos começar então! Temos que quando uma massa de 91   k g é utilizada neste sistema, ele causa com que o sistema de molas da balança entre em um movimento criticamente amortecido, portanto, temos que a seguinte expressão tem validade:

γ 2   =   ω 0 2 → γ = b / 2 m   e   ω 0 = k / m

Nós também sabemos que ao subir na balança, temos uma deflexão de 2,5   c m   =   2,5 × 1 0 - 2 m . Precisamos usar isso para achar as constantes que ele pede primeiro, okay?

Passo 2

Se considerarmos que o sistema está em equilíbrio quando atinge a deflexão de 2,5 × 1 0 - 2 m é possível utilizar a segunda lei de Newton para obter a constante k da mola, uma vez que o amortecimento no equilíbrio não tem efeito ( x ˙ = 0 ), temos que:

m x ¨ = P → + F → e l á s t i c a = m g - k y e q = 0 → k   =   m g y e q = 91 × 9,8 2,5 × 1 0 - 2 = 35672 ≈ 3,57 × 1 0 4 N / m

Vamos achar agora a constante b . Bora lá!

Passo 3

Como esse é um amortecimento crítico, temos que:

ω 1 = 0 → γ 2   =   ω 0 2 → b 2 4 m 2 = k m → b = 4 k × m = 3603,42 ≈ 0,360 × 1 0 4   k g / s

Beleza, já temos mais uma informação. Agora vamos ver se isso é o suficiente para mostrar que uma pessoa mais leve entraria em um movimento superamortecido.

Passo 4

A relação que utilizamos anteriormente para o amortecimento crítico é tal que:

( b / 2 m ) 2 = k / m → b 2 = 4 k × m

Se temos o valor obtido anteriormente para b e o valor obtido para k , isto está relacionado à massa de 91   k g , de forma que m = b 2 / 4 k , se tivermos uma massa m ' < m , necessariamente temos que m ' < b 2 / 4 k → 4 m ' × k < b 2 → k / m ' < b 2 / 4 m ' 2 . Essa desigualdade final garante que uma pessoa mais leve estará em um movimento superamortecido.

Beleza, vamos fazer a última parte da questão e calcular a força máxima que a balança exerce sobre o homem, bora lá!

Passo 5

Como o homem sofre um movimento amortecido crítico, se considerarmos que ele parte do repouso, seu amortecimento toma a seguinte forma:

y ( t )   = ( y 0 - ω 0 - 2 g ) [ 1 + γ t ] e - γ t  

Este formato surge da solução da equação diferencial não-homogênea nas condições dada do problema. A força máxima pode ser obtida lembrando a definição de máximo de uma função, onde é necessário que:

F → m a x → d d t F ( t ) = 0   e   d 2 d t 2 F ( t ) > 0

Note que a desigualdade é o contrário do que estamos acostumados pois nossa força é em geral negativa neste sistema de coordenada que escolhemos. Como temos que F ( t ) = k y ( t ) , podemos calcular as condições acima tendo em vista a nossa solução! Bora lá!

Passo 6

Temos que:

y ˙ ( t ) = - γ ( y 0 - ω 0 - 2 g ) e - γ t ( 1 + γ t ) + γ ( y 0 - ω 0 - 2 g ) e - γ t = - γ 2 ( y 0 - ω 0 - 2 g ) t e - γ t

Se escolhermos nosso sistema de coordenadas tomando y 0 = 0 , temos que:

y ˙ ( t ) = γ 2 ω 0 - 2 g t e - γ t = 0 → t = 0 .

Ou seja, a força máxima acontece no instante inicial de tempo, o que faz sentido, já que y 0 estamos iniciando a nossa contagem temporal na compressão máxima da mola. Agora para a segunda derivada, temos:

y ¨ ( t ) = - γ 2 ( - ω 0 - 2 g ) e - γ t + γ 3 ( - ω 0 - 2 g ) t e - γ t → t = 0 → γ 2 ω 0 - 2 g

Que é necessariamente maior do que zero, portanto t = 0 é realmente um ponto de máximo, desta forma nossa força máxima toma a forma:

| F → m a x | = | F → ( t = 0 ) | = k ω 0 - 2 g = m g = 891,8 N

A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.