Desvio cosmológico para o vermelho. A expansão do universo é representada frequentemente por um desenho como o da Fig. 44-15a. Na figura, estamos situados no ponto VL (as iniciais de Via Láctea, a nossa galáxia), na origem de um eixo r que se afasta de nós em uma direção qualquer. Outras galáxias, muito distantes da nossa, também estão representadas. As setas associadas a essas galáxias mostram a velocidade de cada uma, de acordo com o desvio para o vermelho da luz que recebemos. Segundo a lei de Hubble, a velocidade de cada galáxia é proporcional à distância que a separa de nós. Desenhos como esse podem causar uma impressão errônea, porque parecem mostrar (1) que os desvios para o vermelho se devem ao movimento das galáxias em relação à Terra, enquanto se deslocam em um espaço estático (estacionário), e (2) que estamos no centro de todo esse movimento.
Na verdade, a expansão do universo e o aumento da distância entre as galáxias não se devem ao movimento divergente das galáxias em um espaço preexistente, mas à expansão do próprio espaço. O espaço não é estático, e sim dinâmico. As Figs. 44-15b, 44-15c e 44-15d mostram uma forma diferente de representar o universo e sua expansão. Cada parte da figura constitui uma seção unidimensional do universo (ao longo do eixo r); as outras duas dimensões espaciais do universo não são mostradas. Cada uma das três partes da figura mostra a Via Láctea e seis outras galáxias (representadas por pontos); as seções estão situadas em diferentes posições ao longo do eixo dos tempos, com t3 > t2 > t1 . Na seção b, a mais antiga, a Via Láctea e as seis outras galáxias estão mais próximas entre si. Com a passagem do tempo, o universo se expande, o que faz aumentar a distância entre as galáxias. Observe que as figuras foram traçadas do ponto de vista da Via Láctea e por isso as outras galáxias parecem se afastar da Via Láctea por causa da expansão. Na verdade, a Via Láctea não ocupa uma posição especial; as galáxias também pareceriam se afastar de qualquer outro ponto escolhido como referência. As Figs. 44-16a e 44-16b mostram apenas a Via Láctea e uma das outras galáxias, a galáxia A, em dois instantes de tempo diferentes durante a expansão. Na Fig. 44-16a, a galáxia A se encontra a uma distância r da Via Láctea e está emitindo uma onda luminosa de comprimento de onda λ. Na Fig. 44-16b, após um intervalo de tempo Δt, a onda está sendo detectada na Terra. Vamos chamar de α a taxa de expansão do universo por unidade de tempo e supor que essa taxa se mantém constante durante o intervalo de tempo Δt. Nesse caso, durante o intervalo Δt, todas as dimensões espaciais sofrem uma expansão de αΔt; assim, a distância r aumenta de rαΔt. A onda luminosa das Figs. 44-16a e 44-16b se propaga com velocidade c da galáxia A até a Terra. (a) Mostre que
O comprimento de onda detectado, λ′, é maior que λ, o comprimento de onda emitido, porque o espaço se expandiu durante o intervalo de tempo Δt. Esse aumento do comprimento de onda é chamado de desvio cosmológico para o vermelho; não se trata de um efeito Doppler. (b) Mostre que a variação do comprimento de onda Δλ (= λ′ – λ) é dada por
(c) Calcule a expansão binomial (veja o Apêndice E) do lado direito da equação. (d) Qual é o valor da razão Δλ/λ se for conservado apenas o primeiro termo da expansão?
Por outro lado, se usarmos o modelo da Fig. 44-15a e supusermos que o desvio para o vermelho Δλ se deve ao efeito Doppler, teremos, de acordo com a Eq. 37-36,
em que v é a velocidade radial da galáxia A em relação à Terra. (e) Depois de usar a lei de Hubble para determinar a velocidade da galáxia A, compare o valor da razão Δλ/λ, obtido usando esse modelo, com o resultado do item (d) e calcule o valor de α em termos da constante de Hubble. Essa análise mostra que os dois modelos usados para explicar o desvio para o vermelho das galáxias distantes levam aos mesmos resultados. Suponha que a luz proveniente da galáxia A apresente um desvio para o vermelho Δλ/λ = 0,050 e que a taxa de expansão do universo tenha se mantido constante, com o valor dado neste capítulo, desde que a luz foi emitida pela galáxia. (f) Use o resultado do item (b) para calcular qual era a distância entre a galáxia e a Terra na época em que a luz foi emitida. Determine há quanto tempo a luz foi emitida pela galáxia (g) usando o resultado do item (a) e (h) supondo que o desvio para o vermelho se deva ao efeito Doppler. [Sugestão: No caso do item (h), o tempo é dado pela distância no instante da emissão dividida pela velocidade da luz, já que, como estamos imaginando que o desvio para o vermelho se deve ao efeito Doppler, a distância não varia durante o tempo que a luz leva para chegar à Terra. Nesse caso, os resultados dos dois modelos são diferentes.] (i) Qual é a distância entre a galáxia A e a Terra no instante em que a luz é detectada? (Estamos supondo que a galáxia A ainda existe; se ela deixasse de existir, os humanos só tomariam conhecimento do fato no instante em que a última luz emitida pela galáxia chegasse à Terra.) Suponha que a luz proveniente da galáxia B (Fig. 44-16c) apresente um desvio para o vermelho Δλ/λ = 0,080. (j) Use o resultado do item (b) para determinar a distância entre a galáxia B e a Terra no instante em que a luz foi emitida. (k) Use o resultado do item (a) para determinar há quanto tempo a luz foi emitida pela galáxia B. (l) Quando a luz que detectamos da galáxia A foi emitida, qual era a distância entre a galáxia A e a galáxia B?
Passo 1
Falaaa pessoal, como vocês estão? Bom, bora pra mais uma questão desse assunto!
O que a gente sabe sobre essa situação é que se trata de um sistema de massa conhecida com dois processos em série.
Pra resolver essa questão, vamos assumir que estamos considerando um sistema fechado, que as energias cinética e potencial podem ter seus efeitos desconsiderados. Também vamos assumir que não há trabalho do processo 1 para o 2, e que a pressão é constante do processo 2 para o 3.
Levando em conta tudo isso, o trabalho no processo 2-3 pode se expressar como:
Substituindo nossos valores, temos:
Passo 2
Agora, usando o balanço de energia pra encontrar , temos que:
Para encontrarmos , faremos o balanço de energia dos processos 1-2:
Por último, já de posse desse valor, temos:
Resposta