a) Determine a frequência ν da parte dependente do tempo da função de onda, citada no exemplo 5-3, para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples.

b) Use esse valor de ν e a relação de de Broglie-Einstein E = h ν para calcular a energia total E do oscilador.

c) Use este valor de E para mostrar que os limites para o movimento clássico do oscilador, encontrados no exemplo 5-6, podem ser escritos como x = ± ℏ 1 / 2 / C m 1 / 4 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

No exemplo 5-3 do livro foi introduzido a função de onda que corresponde ao estado fundamental do oscilador harmônico quântico:

ψ x , t = A   e - C m 2 ℏ x 2   e - i 2 C m   t

Olhando apenas para a parte dependente do tempo, temos

e - i ω t = e - i 2 C m   t

Assim,

ω = 1 2 C m → ν = ω 2 π = 1 4 π C m

Vale destacar que o fator de fase temporal de um estado estacionário será sempre um termo do tipo e - i ω t = e - i E t / ℏ .

Passo 2

Usando E = h ν temos

E = h ⋅ 1 2 π ⋅ 1 2 C m

Como ℏ = h / 2 π , temos

E = ℏ 2 C m = ℏ ω

No exemplo 5-6 do livro foi deduzido que os limites de movimento são dados por

x = ± 2 E C               o u           x 2 = 2 E C

Assim, usando a energia calculada no item (b):

x 2 = 2 C ⋅ ℏ 2 C m = ℏ C m

Portanto,

x = ± ℏ 1 / 2 C m 1 / 4

Isso finaliza o problema!

Resposta

ν = 1 4 π C m

E = ℏ 2 C m = ℏ ω

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