a) Determine o movimento de um oscilador harmônico amortecido, sujeito à força constante , “adivinhando” uma solução estacionária da equação não-homogênea (2.91) e acrescentando uma solução da equação homogênea.
Passo 1
Eaew, tudo bem? Bora resolver uma questãozinha de mecânica analítica?
Esta questão é muuuuito mais equações diferenciais do que qualquer outra coisa, a física aqui vai durar 2 linhas, aplicando a segunda lei de Newton temos:
Pronto, agora temos uma equação diferencial de segunda ordem. Diferente do que usualmente obtemos, esta equação diferencial é não-homogênea, portanto, devemos obter uma solução particular para este sistema. Bora lá!
Passo 2
Para resolver a parte homogênea desta equação devemos considerar o seguinte:
Da qual podemos obter o seguinte polinômio característico:
Os valores de dirão que tipo de amortecimento estaremos, e isso depende da relação entre e , temos 3 casos, subcrítico , crítico e supercrítico . Para este problema resolver 1 deles é suficiente, vou fazer para o caso subcrítico. Você pode ver uma análise deste tipo no exercício 39. A solução da homogênea é da forma:
Esta expressão pode ser escrita da seguinte forma:
Identificando que Vamos trabalhar na solução particular agora! Belezinha?
Passo 3
Para uma expressão com o formato , é conveniente escolher uma solução particular da seguinte maneira:
Se utilizarmos esta expressão na equação (1), podemos utilizar o método de coeficientes a determinar para encontrar , saca só:
Portanto, nossa solução particular é da forma:
Agora, vamos escrever a nossa solução, topzera?
Passo 4
A solução da equação diferencial (1) é tal que:
A alternativa está pronta, bora para a letra b).