a) Determine o movimento de um oscilador harmônico amortecido, sujeito à força constante F 0 , “adivinhando” uma solução estacionária da equação não-homogênea (2.91) e acrescentando uma solução da equação homogênea.

Passo 1

Eaew, tudo bem? Bora resolver uma questãozinha de mecânica analítica?

Esta questão é muuuuito mais equações diferenciais do que qualquer outra coisa, a física aqui vai durar 2 linhas, aplicando a segunda lei de Newton temos:

m x ¨ ( t ) = - k x ( t ) - b x ˙ ( t ) + F 0 → x ¨ ( t ) + b m x ˙ ( t ) + k m x ( t ) = F 0 m →

→ x ¨ ( t ) + b m x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = F 0 m

Pronto, agora temos uma equação diferencial de segunda ordem. Diferente do que usualmente obtemos, esta equação diferencial é não-homogênea, portanto, devemos obter uma solução particular para este sistema. Bora lá!

Passo 2

Para resolver a parte homogênea desta equação devemos considerar o seguinte:

x ¨ ( t ) + b m x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 0

Da qual podemos obter o seguinte polinômio característico:

r 2 + b m r + ω 0 2 = 0 → B h a s k a r a   → r ± = - b 2 m ± ( b 2 m ) 2 - ω 0 2 →

→ r ± = - γ ± ω 1

Os valores de ω 1 dirão que tipo de amortecimento estaremos, e isso depende da relação entre γ e ω 0 2 , temos 3 casos, subcrítico ( γ < ω 0 2 ) , crítico ( γ = ω 0 2 ) e supercrítico ( γ > ω 0 2 ) . Para este problema resolver 1 deles é suficiente, vou fazer para o caso subcrítico. Você pode ver uma análise deste tipo no exercício 39. A solução da homogênea é da forma:

x h ( t )   =   C 1 e ( - γ + i ω 1 ) t + C 2 e ( - γ - i ω 1 ) t

Esta expressão pode ser escrita da seguinte forma:

x h ( t ) = e - γ t A c o s ( ω 1 t + θ )

Identificando que   C 1 = A c o s ( θ )   e   C 2 = - A s i n ( θ ) .   Vamos trabalhar na solução particular agora! Belezinha?

Passo 3

Para uma expressão com o formato F 0 m , é conveniente escolher uma solução particular da seguinte maneira:

x p ( t )   =   C

Se utilizarmos esta expressão na equação (1), podemos utilizar o método de coeficientes a determinar para encontrar C , saca só:

ω 0 2 C = F 0 m → C ω 0 2 = F 0 m → C = F 0 m ω 0 - 2 = F 0 m m k = F 0 k

Portanto, nossa solução particular é da forma:

x p ( t )   =   F 0 k           ( 4 )

Agora, vamos escrever a nossa solução, topzera?

Passo 4

A solução da equação diferencial (1) é tal que:

x ( t ) = x h ( t ) + x p ( t )   =   A e - γ t c o s ( ω 1 + θ ) + F 0 k

A alternativa está pronta, bora para a letra b).

Resposta

x ( t )   =   A e - γ t c o s ( ω 1 + θ ) + F 0 k