a) Determine, usando o princípio da superposição, o movimento de um oscilador subamortecido [] inicialmente em repouso e submetido, após , à ação da força
onde é a frequência natural do oscilador.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
A questão nos indica que este é um oscilador harmônico subamortecido uma vez que . A equação diferencial deste sistema é tal que:
Outros problemas deste capítulo trabalham com mais detalhes encontrar a solução da parte homogênea desta equação, o formato é tal que:
em que usei os dados do enunciado e que . O enunciado também nos indica as seguintes condições iniciais:
Uma vez que podemos escolher um referencial tal que . No entanto, para aplicarmos estas condições precisamos de uma solução geral dada da forma:
Vamos começar então a encontrar uma solução particular! Bora lá!
Passo 2
Vamos utilizar o método de coeficientes a determinar, onde vamos propor uma possível solução e encontrar os parâmetros de forma que a solução respeite a equação (1). Portanto, temos:
Escrever a solução particular como a soma das duas componentes da força é o que o enunciado chama de princípio da superposição. Para usar a equação (1) precisamos calcular a primeira e segunda derivadas desta solução:
Belezinha, com (5), (6) e (7) em mãos, bora aplicar isso na equação (1) e encontrar as 4 constantes que introduzimos aqui.
Passo 3
Temos que a equação (1) toma a seguinte forma:
Um pouco grandinho neh? Mas vamos com calma, que pode ser feio, mas dá para fazer! Aqui temos termos de , assim como , também temos e . Os coeficientes destes termos do lado esquerdo e direito da equação devem ser iguais, portanto, isso nos dá as seguintes equações:
Temos 4 equações para 4 parâmetros, as equações (8) e (9) definem completamente e e as equações e (11) definem completamente e . Vamos analisar elas com calma!
Passo 4
Primeiro vamos mexer com a (8) e (9), temos da equação (8) que:
E usando (12) na equação (9), temos:
Agora vamos usar (10) e (11). Da equação (10) temos:
Usando isso na equação (11), temos:
Voltando em (14), temos:
Pronto, temos todas as nossas constantes, vamos agora montar nossa solução particular e escrever a solução geral.
Passo 5
A solução particular tem a forma:
E usando a equação (4) junto com a equação (2) temos a nossa solução geral:
Para aplicar as condições iniciais (3), temos que derivar (17), portanto vamos fazer isso de uma vez:
Vamos aplicar as condições iniciais agora! Calma que está quase acabando!
Passo 6
Aplicando a equação (3) em conjunto com a equação (17), temos:
Agora aplicando a equação (3) na equação (18) temos:
Usando o resultado de (19) temos:
Agora é só escrever nossa solução final!
Passo 7
A solução geral tem então a forma: