a) Determine, usando o princípio da superposição, o movimento de um oscilador subamortecido [ γ = ( 1 / 3 ) ω 0 ] inicialmente em repouso e submetido, após t = 0 , à ação da força

F   =   A s i n ( ω 0 t ) + B s i n ( 3 ω 0 t ) ,

onde ω 0 é a frequência natural do oscilador.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

A questão nos indica que este é um oscilador harmônico subamortecido uma vez que γ 2 < ω 0 2 . A equação diferencial deste sistema é tal que:

x ¨ ( t )   +   2 γ x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t )   =   A m s i n ( ω 0 t ) + B m s i n ( 3 ω 0 t ) →

→ x ¨ ( t )   +   2 3 ω 0 x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t )   =   A m s i n ( ω 0 t ) + B m s i n ( 3 ω 0 t )           ( 1 )

Outros problemas deste capítulo trabalham com mais detalhes encontrar a solução da parte homogênea desta equação, o formato é tal que:

x h ( t )   =   C 1 e - γ t c o s ( ω 1 t ) + C 2 e - γ t s i n ( ω 1 t ) →

→ x h ( t )   =   C 1 e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + C 2 e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t )           ( 2 )

em que usei os dados do enunciado e que ω 1 = | γ 2 - ω 0 2 | . O enunciado também nos indica as seguintes condições iniciais:

x ( t = 0 ) = x 0 = 0   e   x ˙ ( t = 0 ) = 0           ( 3 )

Uma vez que podemos escolher um referencial tal que x 0 = 0 . No entanto, para aplicarmos estas condições precisamos de uma solução geral dada da forma:

x ( t )   =   x h ( t ) + x p ( t )           ( 4 )

Vamos começar então a encontrar uma solução particular! Bora lá!

Passo 2

Vamos utilizar o método de coeficientes a determinar, onde vamos propor uma possível solução e encontrar os parâmetros de forma que a solução respeite a equação (1). Portanto, temos:

x p ( t )   =   C 3 c o s ( ω 0 t ) + C 4 s i n ( ω 0 t ) + C 5 c o s ( 3 ω 0 t ) + C 6 s i n ( 3 ω 0 t )           ( 5 )

Escrever a solução particular como a soma das duas componentes da força é o que o enunciado chama de princípio da superposição. Para usar a equação (1) precisamos calcular a primeira e segunda derivadas desta solução:

x ˙ p ( t )   = - ω 0 C 3 s i n ( ω 0 t ) + ω 0 C 4 c o s ( ω 0 t ) - 3 ω 0 C 5 s i n ( 3 ω 0 t ) + 3 ω 0 C 6 c o s ( 3 ω 0 t )           ( 6 )

x ¨ p ( t )   = - ω 0 2 C 3 c o s ( ω 0 t ) - ω 0 2 C 4 s i n ( ω 0 t ) + →

→ - 9 ω 0 2 C 5 c o s ( 3 ω 0 t ) - 9 ω 0 2 C 6 s i n ( 3 ω 0 t )           ( 7 )

Belezinha, com (5), (6) e (7) em mãos, bora aplicar isso na equação (1) e encontrar as 4 constantes que introduzimos aqui.

Passo 3

Temos que a equação (1) toma a seguinte forma:

  - ω 0 2 C 3 c o s ( ω 0 t ) - ω 0 2 C 4 s i n ( ω 0 t ) - 9 ω 0 2 C 5 c o s ( 3 ω 0 t ) - 9 ω 0 2 C 6 s i n ( 3 ω 0 t ) →

  → + 2 3 ω 0 [ - ω 0 C 3 s i n ( ω 0 t ) + ω 0 C 4 c o s ( ω 0 t ) - 3 ω 0 C 5 s i n ( 3 ω 0 t ) + 3 ω 0 C 6 c o s ( 3 ω 0 t ) ] →

+ ω 0 2 [ C 3 c o s ( ω 0 t ) + C 4 s i n ( 3 ω 0 t ) + C 5 c o s ( 3 ω 0 t ) + C 6 s i n ( 3 ω 0 t )   ]   = →

=   A s i n ( ω 0 t ) + B s i n ( 3 ω 0 t )

Um pouco grandinho neh? Mas vamos com calma, que pode ser feio, mas dá para fazer! Aqui temos termos de s i n ( ω 0 t ) , assim como s i n ( 3 ω 0 t ) , também temos c o s ( ω 0 t ) e c o s ( 3 ω 0 t ) . Os coeficientes destes termos do lado esquerdo e direito da equação devem ser iguais, portanto, isso nos dá as seguintes equações:

- ω 0 2 C 3 + 2 3 ω 0 2 C 4 + ω 0 2 C 3 = 0           ( 8 )

- ω 0 2 C 4 - 2 3 ω 0 2 C 3 + ω 0 2 C 4 = A m           ( 9 )

- 9 ω 0 2 C 5 + 2 ω 0 2 C 6 + ω 0 2 C 5 = 0           ( 10 )

- 9 ω 0 2 C 6 - 2 ω 0 2 C 5 + ω 0 2 C 6 = B m           ( 11 )

Temos 4 equações para 4 parâmetros, as equações (8) e (9) definem completamente C 3 e C 4 e as equações ( 10 ) e (11) definem completamente C 5 e C 6 . Vamos analisar elas com calma!

Passo 4

Primeiro vamos mexer com a (8) e (9), temos da equação (8) que:

2 3 ω 0 2 C 4 = 0 → C 4 = 0           ( 12 )

E usando (12) na equação (9), temos:

- 2 3 ω 0 2 C 3 = A m → C 3 = - 3 2 ω 0 2 A m           ( 13 )

Agora vamos usar (10) e (11). Da equação (10) temos:

- 9 ω 0 2 C 5 + 2 ω 0 2 C 6 + ω 0 2 C 5 = 0   → 2 ω 0 2 C 6 = 8 ω 0 2 C 5 → ω 0 2 C 6 = 4 ω 0 2 C 5           ( 14 )

Usando isso na equação (11), temos:

- 9 ( 4 ω 0 2 C 5 ) - 2 ω 0 2 C 5 + 4 ω 0 2 C 5 = B m → - 34 ω 0 2 C 5 = B m → C 5 = - 1 34 ω 0 2 B m           ( 15 )

- 9 ω 0 2 C 6 - 2 ω 0 2 C 5 + ω 0 2 C 6 = B m

Voltando em (14), temos:

C 6 = - 2 17 ω 0 2 B m           ( 16 )

Pronto, temos todas as nossas constantes, vamos agora montar nossa solução particular e escrever a solução geral.

Passo 5

A solução particular tem a forma:

x p ( t )   =   - 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t ) - 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )

E usando a equação (4) junto com a equação (2) temos a nossa solução geral:

x ( t )   = C 1 e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + C 2 e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + →  

→ - 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t ) - 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )         ( 17 )  

Para aplicar as condições iniciais (3), temos que derivar (17), portanto vamos fazer isso de uma vez:

x ˙ ( t )   = - ω 0 3 C 1 e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) - 2 2 3 ω 0 C 1 e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + →

- ω 0 3 C 2 e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + 2 2 3 ω 0 C 2 e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + →  

→ + 3 2 ω 0 A m s i n ( ω 0 t ) + 3 34 ω 0 B m s i n ( 3 ω 0 t ) - 6 17 ω 0 B m c o s ( 3 ω 0 t )         ( 18 )

Vamos aplicar as condições iniciais agora! Calma que está quase acabando!

Passo 6

Aplicando a equação (3) em conjunto com a equação (17), temos:

0   = C 1 - 3 2 ω 0 2 A m   - 1 34 ω 0 2 B m → C 1 = 3 2 ω 0 2 A m + 1 34 ω 0 2 B m           ( 19 )

Agora aplicando a equação (3) na equação (18) temos:

0   = - ω 0 3 C 1 + 2 2 3 ω 0 C 2 - 6 17 ω 0 B m

Usando o resultado de (19) temos:

0 = - ω 0 3 ( 3 2 ω 0 2 A m + 1 34 ω 0 2 B m ) + 2 2 3 ω 0 C 2 - 6 17 ω 0 B m →

→ 2 2 3 ω 0 C 2 = 1 2 ω 0 A m + 1 102 ω 0 B m + 6 17 ω 0 B m → 2 2 3 ω 0 C 2 = 1 2 ω 0 A m + 17 ω 0 + 612 ω 0 1734 ω 0 2 B m →

→ 2 2 3 ω 0 C 2 = 1 2 ω 0 A m + 37 ω 0 102 ω 0 2 B m →

→ C 2 = 3 4 2 ω 0 2 A m + 37 68 2 ω 0 2 B m →

→ C 2 = 3 2 8 ω 0 2 A m + 37 2 136 ω 0 2 B m           ( 20 )

Agora é só escrever nossa solução final!

Passo 7

A solução geral tem então a forma:

x ( t )   = [ 3 2 ω 0 2 A m + 1 34 ω 0 2 B m   ] e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + →

+ [ 3 2 8 ω 0 2 A m + 37 2 136 ω 0 2 B m ] e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + →  

→ - 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t ) - 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )  

Resposta

x ( t )   = [ 3 2 ω 0 2 A m + 1 34 ω 0 2 B m   ] e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + →

+ [ 3 2 8 ω 0 2 A m + 37 2 136 ω 0 2 B m ] e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + →  

→ - 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t ) - 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )