b) Qual deve ser a razão entre B e A para que as oscilações forçadas com frequências 3 ω 0 tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja frequência é ω 0 ?

Passo 1

Na última alternativa encontramos a seguinte solução para este sistema:

x ( t )   = [ 3 2 ω 0 2 A m + 1 34 ω 0 2 B m   ] e - ω 0 3 t c o s ( 2 2 3 ω 0 t ) + →

+ [ 3 2 8 ω 0 2 A m + 37 2 136 ω 0 2 B m ] e - ω 0 3 t s i n ( 2 2 3 ω 0 t ) + →  

→ - 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t ) - 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )  

Os termos exponenciais são o transiente desta solução, mas o que estamos interessados são os termos estacionários, ou seja, terceira linha da solução acima! Após um tempo grande suficiente, apenas estas oscilações importam. Então podemos analisar estes termos independentemente para achar a nossa condição sobre as constantes A e B , vamos fazer isso!

Passo 2

Temos estas duas expressões de interesse:

- 3 2 ω 0 2 A m   c o s ( ω 0 t )           ( 1 )  

- 1 34 ω 0 2 B m c o s ( 3 ω 0 t ) - 2 17 ω 0 2 B m s i n ( 3 ω 0 t )           ( 2 )

A equação (1) tem amplitude:

A 1 = - 3 2 ω 0 2 A m           ( 3 )

No entanto, a amplitude da equação (2) não é tão óbvia, vamos tentar reescrever esta expressão um pouquinho!

Passo 3

Se introduzirmos uma fase ϕ neste sistema e utilizar que:

- 1 34 ω 0 2 B m   =   A 2 c o s ( ϕ )   e   - 2 17 ω 0 2 B m = - A 2 s i n ( ϕ )         ( 4 )

Isso deixa a nossa equação (2) da seguinte forma:

A 2 c o s ( 3 ω 0 t + ϕ )

Então A 2 nos dá a nossa amplitude da segunda oscilação. Se usarmos (4) para obter A 2 e igualar à A 1 podemos obter a nossa relação! Bora fazer isso!

Passo 4

Precisamos nos livrar dessa fase primeiro, se dividirmos ambas as equações em (4) uma pela outra, temos:

- t a n ( ϕ ) = 2 / 17 ω 0 2 1 / 34 ω 0 2 = 2 × 1 2 = 1 → t a n ( ϕ ) = - 1 → ϕ = - π / 4

e portanto, nossa amplitude é dada por:

- 1 34 ω 0 2 B m   =   A 2 c o s ( - π / 4 ) → A 2 = - 1 17 2 ω 0 2 B m → A 2 = - 2 34 ω 0 2 B m           ( 5 )

Belezinha, só precisamos obter nossa razão! Vamos lá!

Passo 5

Igualando (3) e (5), temos:

- 3 2 ω 0 2 A m = - 2 34 ω 0 2 B m → B A = 3 2 34 2 = 51 2 = 51 2 2

Só para resumir:

B A = 51 2 2

Aí estamos nós! Acabou! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

B A = 51 2 2