Um disco com 2,5   c m de raio possui uma densidade superficial de carga uniforme de 3,6   μ C / m 2 . Utilizando aproximações razoáveis, determine o campo elétrico no eixo do disco para as distâncias de (a) 0,01   c m , (b) 0,04   c m , (c)   5   m e (d) 5   c m .

Passo 1

Para x   < <   r , podemos modelar o disco como um plano infinito. Para x   > >   r , podemos aproximar a carga do anel para uma carga pontual.

Passo 2

Para x   < <   r , expresse o campo elétrico próximo a um plano infinito de carga:

E x = 2 π k σ

(a) e (b) Como E x é independente de x para x   < <   r :

E x = 2 π ( 8,99 × 10 9   N ∙ m 2 / C 2 ) ( 3,6   μ C / m 2 ) = 2,03 × 10 5   N / C

Para x   > >   r , use a lei de Coulomb para o campo elétrico devido a uma carga pontual para obter:

E x x = k Q x 2 = k π r 2 σ x 2

Passo 3

(c) Avalie E x em x   =   5   m :

E x ( 5 m ) = π ( 8,99 × 10 9   N ∙ m 2 / C 2 ) 2,5   c m 2 ( 3,6   μ C / m 2 ) 5   m 2 = 2,54   N / C  

Passo 4

(d) Avalie E x em x = 5   c m :

E x ( 5   c m ) = π ( 8,99 × 10 9   N ∙ m 2 / C 2 ) 2,5   c m 2 ( 3,6   μ C / m 2 ) 0,0 5   m 2 = 2,54 × 10 4   N / C  

Observe que esta é uma aproximação muito ruim porque x   =   2 r não é muito maior que r .

Resposta

(a) e (b) E x = 2,03 × 10 5   N / C

(c) E x 5   m = 2,54   N / C

(d) E x 5   c m = 2,54 × 10 4   N / C