(a) Um disco fonográfico tem uma densidade uniforme de ‘eletricidade estática’ σ . Se sua rotação for na velocidade angular ω , qual será a densidade superficial de corrente K a uma distância r do centro?

(b) Uma esfera sólida uniformemente carregada, de raio R e carga total Q, está centrada na origem e girando a uma velocidade angular constante ω em torno do eixo z. Encontre a densidade de corrente J em qualquer ponto (r, θ ,   ϕ ) dentro da esfera.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

A velocidade do disco pode ser calculada por: v = ω r .

A partir da expressão acima, podemos simplesmente substituir na fórmula de densidade superficial, obtendo:

K = σ v = σ ω r

Passo 2

Para o item (b), antes de calcularmos J, devemos primeiro determinar a velocidade da esfera, já que J = ρ v .

Portanto, como a esfera está girando a uma velocidade angular constante ω em torno do eixo z, podemos afirmar que:

v = ω r sin ⁡ θ ϕ ^

Substituindo esse valor da velocidade encontrada na fórmula de densidade de corrente, teremos:

J = ρ ω r sin ⁡ θ ϕ ^

Note que, para esse caso:

ρ ≡ Q V o l u m e   e s f e r a = Q 4 π R 3 3

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) K = σ ω r .

(b)   J = ρ ω r sin ⁡ θ ϕ ^ .