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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 2

A distribuição de Maxwell pode ser desenvolvida a partir do estudo de colisões elásticas entre duas partículas. Se essas partículas têm inicialmente energias ε 1 e ε 2 e energias ε 3 e ε 4 após a colisão, então

ε 3 + ε 4 = ε 1 - δ + ( ε 2 + δ )

Se todos os estados possíveis forem igualmente prováveis, o número de colisões por segundo P será proporcional ao número de partículas em cada estado inicial, isto é,

P 1,2 = C P ε 1 P ε 2

Onde P ( ε i ) é a probabilidade de um estado estar ocupado e C é uma constante. De forma análoga P 3,4 = C P ε 3 P ( ε 4 ) . No equilíbrio, para cada colisão 1,2 → ( 3,4 ) deverá haver uma colisão 3,4 → ( 1,2 ) . Portanto P 1,2 = P 3,4 .

A – Mostre que P ε i = e - ε i k T     é solução dessa equação.

B – Use um raciocínio semelhante para deduzir a distribuição de Fermi. Aqui, os estados iniciais deverão estar populados e os estados finais vazios, o número de colisões sendo

P 1,2 = C P ε 1 P ε 2 1 - P ε 3 1 - P ε 4

Mostre então que a equação P 1,2 = P 3,4 pode ser resolvida por

1 - P ε i P ε i = C e ε i k T  

Que leva a (11-23).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Bem, o número de colisões por segundo é proporcional a probabilidades em cada estado que está sendo ocupado:

P 1,2 = C P ε 1 P ε 2

Assim como,

P 3,4 = C P ε 3 P ε 4

Portanto, a condição de equilíbrio nos traz a seguinte situação:

C P ε 1 P ε 2 = C P ε 3 P ( ε 4 )

Se a probabilidade de um estado de energia ε i sendo ocupado por uma partícula é igual a

P ε i = e - ε i k T

Então, a condição de equilíbrio se torna

C e - ε i k T e - ε 2 k T = C e - ε 3 / k T e - ε 4 / k T  

Passo 2

Já temos um termo com exponenciais, então vamos trabalhar nas manipulações dessas exponenciais. Então, primeiramente, vamos combinar as exponenciais

C e - ε 1 + ε 2 k T = C e - ε 3 + ε 4 k T  

Lembre-se que, as energias finais das partículas depois da colisão deve ser a soma das energias iniciais, com isso nós temos:

ε 3 + ε 4 = ε 1 - δ + ε 2 + δ = ε 1 + ε 2

Substituindo e - ε 3 / k T para P ( ε 3 ) e e - ( ε 3 + ε 4 ) / k T   para P ( ε 4 ) na equação de P 3,4 = C P ε 3 P ( ε 4 )

P 3,4 = C e - ( ε 3 + ε 4 ) / k T = C e - ( ε 1 + ε 2 ) / k T

Logo

P 3,4 = P 1,2

Portanto, a condição de equilíbrio é e - ε i / k T . Essa é a resposta da letra a. 😊

Passo 3

Para a letra b, temos que a distribuição de Fermi tem a seguinte situação, a probabilidade P 1,2 tem que ser modificada nos estados iniciais para que eles se tornem “cheios” e os estados finais se tornem “vazios”.

P 1,2 = C P ε 1 P ε 2 1 - P ε 3 1 - P ε 4

E para P 3,4 , temos as seguintes similaridades:

P 3,4 = C P ε 3 P ε 4 1 - P ε 1 1 - P ε 2

A condição de equilíbrio P 1,2 = P 3,4 se torna:

C P ε 1 P ε 2 1 - P ε 3 1 - P ε 4 = C P ε 3 P ε 4 1 - P ε 1 [ 1 - P ( ε 2 ]

Reorganizando os termos para isolar aqueles relacionados aos estados 1 e 2 de um lado e aos estados 3 e 4 do outro, nós temos:

1 - P ε 3 P ε 3 1 - P ε 4 P ε 4 = 1 - P ε 1 P ε 1 1 - P ε 2 P ε 2

Substituindo dentro desta expressão a forma que nós sugerimos (Aquela → 1 - P ε 1 P ε 1 = C e ε 1 / k t ), com isso, a condição de equilíbrio se torna

C e ε 3 / k T C e ε 4 / k T = C e ε 1 / k T C e ε 2 / k T

Desde que ε 3 + ε 4 = ε 1 + ε 2 , a condição de equilíbrio pode ser resolvida por

1 - P ε i P ε i = C e ε k T  

Agora, resolvendo esta expressão para P, e com isso, obter a distribuição de Fermi, temos:

1 - P ε i = P ε i C e ε i / k T

Desenvolvendo o problema, conseguimos obter:

P ε i C e ε i k T + 1 = 1

E finalmente, temos que

P ε i = 1 1 + C e ε i k T

Portanto, a distribuição de Fermi é igual a P ε i = 1 1 + C e ε i k T  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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