Duas esferas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e suspensas por fios isolantes de comprimento l . O ângulo de abertura resultante é de 2 θ . (a) Mostre que q 2 c o s   θ = 16 π ϵ 0 l 2 m g   s e n 3 θ . (b) Se m = 1 g ,   l = 20 c m   e   θ = 30 ° ,   qual é o valor de q ?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Para o item (a) decompomos os vetores nas componentes x e y. A decomposição das forças em x, temos que relacionar a tensão no fio e a força de modo que nossa equação é da forma

T → s e n θ - F → = 0         ( 1 )

Para a componente em y, a decomposição das forças em y é da forma

T → c o s θ - m g = 0       ( 2 ) .

A imagem abaixo irá ajudar vocês a compreenderem um pouco melhor:

sabendo que a força que está na equação é a forma eletrostática.

Passo 2

No item (b) nós apenas iremos substituir os valores dados no problema à resposta do item (a). Alguns dados que vamos precisar:

sen 30° = ½, cos 30° = 3 / 2 , 20cm = 0.2m e 1g = 0.001kg

Resposta

(a) Fazendo algumas substituições na tensão da equação 1 e substituindo na equação 2, teremos:

T → s e n θ = F →   → T → = F → s e n θ ;       ( 3 )

substituindo equação 3 na equação 2:

F → c o s θ s e n θ - m g = 0 → F → c o s θ = m g   s e n θ

1   4 π ϵ 0   q 2   c o s θ r 2 = m g   s e n θ , onde r 2 = ( 2 l   s e n θ )

q 2 c o s θ =   ( 4 π ϵ 0 )   ( 2   l   s e n θ ) 2   m g   s e n θ = 16 π ϵ 0 l 2 m g   s e n 2 θ   s e n θ

q 2 c o s θ =   16 π ϵ 0 l ²   m g   s e n 3 θ . Como queriamos mostrar.

(b) Agora aplicando as substituições que fizemos no passo 2 e adicionando elas no resultado do item (a), chegaremos a resposta

q 2 = [ ( 16 * 3.14 * ϵ 0 )   ( 0.2 ) 2 ( 0.001 * 9.8 ) ( s e n   30 ) 3 ] / c o s   30

q = { [ ( 16 * 3.14 * ϵ 0 )   ( 0.2 ) 2 ( 0.001 * 9.8 ) ( s e n   30 ) 3 ] / c o s   30 } 1 / 2

q = 1.6 × 1 0 - 6 C