Enunciado

Um elétron com 20 k e V fica em repouso depois de sofrer duas colisões com átomos como da fig. 40-14. Suponha que os átomos permanecem estacionários. O comprimento de onda do fóton emitido na segunda colisão é 130 p m maior do que o comprimento de onda do fóton emitido na primeira colisão.

  1. Qual é a energia cinética do elétron apósa primeira colisão?

Determine

b) o comprimento de onda λ 1 e

c) a energia E 1 do primeiro fóton.

Determine

d) o comprimento de onda λ 2 e

e) a energia E 2 do segundo fóton.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa aqui! Sabemos que o comprimento de onda do primeiro fóton é λ 1 e que o do segundo é λ 2 , e que λ 2 = λ 1 + 130 .

Sabemos também que a energia tem de ser conservada, certo? Então saca só esse esqueminha que fiz para entendermos melhor:

A energia inicial, vou chamar de K 0 = 20 k e V deve ser igual à soma de K 1 e da energia do primeiro fóton E 1 = h c λ 1 . E também temos que a energia K 1 deve ser igual a energia K 2 mais a energia do segundo fóton. Como na segunda colisão o elétron fica em repouso, temos que K 2 = 0 .

Então da conservação de energia temos as seguintes equações:

K 0 = K 1 + h c λ 1 K 1 = h c λ 2

E juntando essas duas equações temos:

K 0 = h c λ 2 + h c λ 1 = h c λ 1 + h c λ 1 + Δ λ  

K 0 = h c λ 1 + h c λ 1 + Δ λ  

Onde o valor de Δ λ é 130 × 10 - 12 m .

Bom, agora precisamos resolver essa equação para λ 1 e assim obter o valor de λ 2 e determinar todas as quantidades que o problema pede, certo? Vamos lá?

Fazendo o mmc temos:

K 0 h c = 1 λ 1 + 1 λ 1 + Δ λ   = λ 1 + Δ λ + λ 1 λ 1 λ 1 + Δ λ

K 0 h c = Δ λ + 2 λ 1 λ 1 2 + λ 1 Δ λ

K 0 λ 1 2 + K 0 λ 1 Δ λ = h c Δ λ + 2 λ 1 h c

λ 1 2 + Δ λ - 2 h c K 0 λ 1 - h c Δ λ K 0 = 0

Ficamos com uma equação de segunda ordem em λ 1 , vamos aplicar a fórmula de báskara:

λ 1 = - Δ λ - 2 h c K 0 ± Δ λ - 2 h c K 0 2 - 4.1 . - h c Δ λ K 0 2.1

Eu sei que ficou grande! Mas vamos usar uma calculadora, então vai ficar tudo bem!! Hihihi

E outra coisa, vamos usar só a raíz positiva, então só precisamos calcular isso uma vez:

λ 1 = - 130 × 10 - 12 - 2.4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 20 × 10 3 ± 130 × 10 - 12 - 2.4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 20 × 10 3 2 - 4.1 . - 4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 . 130 × 10 - 12 20 × 10 3 2.1

λ 1 = 87 × 10 - 12 m = 87 p m

E essa é a resposta do item b ) . Vamos determonar já o item a ) :

K 0 = K 1 + h c λ 1

K 1 = K 0 - h c λ 1 = 20 × 10 3 - 4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 87 × 10 - 12 = 5,7 × 10 3 e V

K 1 = 5,7 k e V

Passo 2

Letra c)

A energia do primeiro fóton é E 1 = h c / λ 1 :

E 1 = h c λ 1 = 4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 87 × 10 - 12 = 14 k e V

Passo 3

Letra d)

O comprimento de onda so segundo fóton é 130 p m maior do que o primeiro. Como já calculamos λ 1 , fica tranquilo determinar λ 2 :

λ 2 = 130 + λ 1 = 130 + 87 = 217 p m

Passo 4

Letra e)

E sabendo o comprimento de onda do segundo fóton, podemos determinar a energia dele:

E 2 = h c λ 2 = 4,14 × 10 - 15 . 3 × 10 8 217 × 10 - 12 = 5,7 k e V

Mas já sabíamos disso, pois do passo 1 temos:

K 1 = h c λ 2 = E 2

Tranquilo até aqui? Vamos pra próxima então!

Resposta

a ) 5,7 k e V

b ) 87 p m

c ) 14 k e V

d ) 217 p m

e ) 5,7 k e V

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