Um elétron atômico (carga q ) circula em torno de um núcleo Q em uma órbita de raio r ; a aceleração é centrípeta é produzida, é claro, pela atração coulombiana de cargas opostas. Ora, um pequeno campo magnético d B é ligado lentamente perpendicular ao plano da órbita. Mostre que o aumento de energia cinética, d T , transmitido pelo campo elétrico induzido, é exato para manter o movimento circular no mesmo raio r . (Foi por isso que na minha discussão de diamagnetismo assumi que o raio é fixo. Veja a seção 6.1.3. e as referências ali citadas.)

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo jóia? Que ótimo!

Bom, como a gente tem produção de força centrípeta e ela é dada pela atração coulombiana de cargas opostas, então a força centrípeta m v 2 / r tem que ser igual a força coulombiana

m v 2 r = q Q 4 π ϵ 0 r 2 ⇒ m v 2 = q Q 4 π ϵ 0 r

A energia cinética é dada por

T = 1 2 m v 2 = q Q 8 π ϵ 0 r

Por enquanto o campo magnético ainda está desligado.

Passo 2

Quando ligamos o campo magnético, temos uma mudança na órbita e velocidade do elétron, que passam a ser r 1 e v 1 . Dessa vez, a força centrípeta também tem a contribuição devido ao campo magnético:

m v 1 2 r 1 = q Q 4 π ϵ 0 r 1 2 + q v 1 B ⇒ m v 1 2 = q Q 4 π ϵ 0 r 1 + q v 1 B r 1

Então, a nova energia cinética será:

T 1 = 1 2 m v 1 2 = q Q 8 π ϵ 0 r 1 + q v 1 B r 1 2

Passo 3

Como r 1 = r + d r , então

1 r 1 = 1 r + d r = 1 r 1 ( 1 + d r / r ) ≈ 1 r ( 1 - d r / r )

Além disso, v 1 = v + d v e B = d B . Então, podemos expandir T 1 para obter:

T 1 = q Q 8 π ϵ 0 r 1 + q v 1 B r 1 2 ≈ q Q 8 π ϵ 0 r 1 - d r r + q 2 d B ( v + d v ) ( r + d r )

T 1 ≈ q Q 8 π ϵ 0 r - q Q d r 8 π ϵ 0 r 2 + q v 1 r 2 d B = T - q Q d r 8 π ϵ 0 r 2 + q v r 2 d B

onde só usamos os termos em primeira ordem. A nova energia cinética é dada por T 1 = T + d T . Ou seja, a mudança na energia cinética foi

d T = T 1 - T = - q Q d r 8 π ϵ 0 r 2 + q v r 2 d B

Passo 4

Por outro lado, no Exercício 7.7 vimos que o campo elétrico induzido é

E = r 2 d B d t

Agora, devido ao equilíbrio das forças, temos

m a = m d v d t = q E = q r 2 d B d t ⇒ m d v = q r 2 d B

Desse modo, o aumento da energia cinética deve ser

d T = d 1 2 m v 2 = m d v = q r 2 d B

Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que

- q Q d r 8 π ϵ 0 r 2 = 0 ⇒ d r = 0

Ou seja, o raio não mudou e o aumento de energia cinética, d T , transmitido pelo campo elétrico induzido, é exato para manter o movimento circular no mesmo raio r .

Resposta

Veja a resolução acima.