Enunciado

Um elétron de um átomo se encontra em um estado com λ = 3 . Determine (a) o módulo de L → (em múltiplos de ); (b) o módulo de μ → (em múltiplos de μ B ) (c) o maior valor possível de m λ ; (d) o valor correspondente de L z (em múltiplos de ); (e) o valor correspondente de μ o r b   z (em múltiplo de μ B ); (f) o valor do ângulo semiclássico θ entre as direções L z e L → ; o valor de θ (g) o segundo maior valor possível de m λ e (h) o menor valor possível (isto é, o mais negativo) de m λ .

Passo 1

O enunciado nos diz que o átomo se encontra em um estado com λ = 3 .

Sabemos que o módulo do momento angular orbital é

L = λ λ + 1 ⋅ ℏ

Sabemos também que o módulo do momento angular orbital pode ser escrito da forma:

μ o r b = λ ( λ + 1 ) ⋅ μ B

O ângulo semiclássico entre as direções L z e L → obedece a relação:

cos ⁡ θ = m λ λ ( λ + 1 )

Passo 2

a) Como λ = 3 , podemos substitui-lo na equação no momento angular orbita.

L = 3 ( 3 + 1 ) ⋅ ℏ

L = 12 ℏ

O módulo de L → em múltiplos de é 12 .

Passo 3

b) Substituindo λ = 3 na segunda equação do momento angular orbital, obtemos:

μ o r b = 3 ( 3 + 1 ) ⋅ μ B

μ o r b = 12 ⋅ μ B

O módulo de μ → em múltiplo de μ B é 12 .

Passo 4

c) O maior valor de m λ é

m λ = λ = 3

Passo 5

d) Temos que L z é dado por:

L z = m λ ℏ

Desta forma o maior valor possível para o momento angular na componente z em múltiplos de é 3 .

Passo 6

e)Temos que μ o r b   z é dado por:

μ o r b   z = - m λ μ B

Desta forma o valor de μ o r b   z em termos de μ B é - 3 .

Passo 7

f) O valor do ângulo semiclássico entre L z e L → , pode ser considerado o maior valor possível de m λ .

Desta forma para λ = 3 e m λ = 3 temos:

cos ⁡ θ = 3 12

θ = 30 °  

Passo 8

g) Para λ = 3 e m λ = 2 obtemos:

cos ⁡ θ = 2 12

θ = 54,7 °

Passo 9

h) Para λ = 3 e m λ = - 3 , obtemos:

cos ⁡ θ = - 3 12

θ = 150 °  

Resposta

a) 12

b) 12

c) m λ = 3

d) 3

e) - 3

f) θ = 30 °

g) θ = 54,7 °

h) θ = 150 °

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