Enunciado

Um elétron está confinado em um poço infinito unidimensional e se encontra no primeiro estado excitado. A Fig. 39-27 mostra os cinco maiores comprimentos de onda que o elétron pode absorver de uma única vez: λ a = 80,78   n m , λ b = 33,66   n m , λ c = 19,23   n m , λ d = 12,62   n m e   λ e = 8,98   n m . Qual é a largura do poço de potencial?

Passo 1

Vamos usar a equação de energia quantizada para o elétron confinado no poço:

E n = h 2 8 m L 2 n 2

Como ele está no primeiro estado excitado, n = 2 , e então:

E 2 = 4 h 2 8 m L 2 = 4 h 2 8 m L 2

Passo 2

Como a gente tá procurando a largura do poço, precisamos usar o maior comprimento de onda que é λ a = 80,78   n m , porque nesse caso, o elétron vai ter apenas os nós extremos da onda estacionária e então corresponde ao próximo estado excitado, então o n vai ser 3 :

E 3 = 9 h 2 8 m L 2

Passo 3

E pela equação da diferença entre as energias:

h f = ∆ E = E 3 - E 2

a gente vai ficar com:

h f = 9 h 2 8 m L 2 - h 2 2 m L 2 = h 2 8 m L 2 9 - 4

Passo 4

Como a gente não tem a frequência, vamos usar a equação de velocidade do fóton que o elétron irá absorver para passar do primeiro para o segundo estado excitado:

c = λ f

f = c λ

Pegando o maior comprimento, que é λ a = 80,78   n m , e substituindo na equação do Passo 3:

h c λ a = h 2 8 m L 2 9 - 4

Simplificando h e isolando L :

L = h λ a 8 m c 9 - 4

Passo 5

Por fim, a gente multiplica e divide por c no lado direito, para podermos escrever o produto m c 2 em elétrons-volt e o produto h c em e V ∙ n m :

L = c c h λ a 8 m c 9 - 4 = ( h c ) λ a 8 ( m c 2 ) 9 - 4

m c 2 = 511 × 10 3   e V

h c = 1240   e V   ∙ n m

Como temos o valor da velocidade da luz no vácuo e de h , que são constantes, e como a partícula no poço é um elétron, temos todos os valores que precisamos, então fica:

L = ( 1240   e V   ∙ n m ) ( 80,78   n m ) 8 ( 511 × 10 3   e V ) 9 - 4 = 0,350   n m

Resposta

L = 0,350   n m

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