Enunciado

Encontre a energia do estado fundamental (n = 1) e dos dois primeiros estados excitados de um nêutron em uma caixa unidimensional de comprimento L = 1,00 × 10–15 m = 1,00 fm (aproximadamente o diâmetro de um núcleo atômico). Faça um diagrama de nível de energia para este sistema. Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o nêutron faz uma transição de (b) n = 2 para n = 1, (c) n = 3 para n = 2 e (d) n = 3 para n = 1.

Passo 1

(a) Podemos achar a energia do estado fundamental pela equação:

E 1 = h 2 8 m L 2

Primeiro, passando h para elétron-volt:

h = 6,626 ∙ 10 - 34 1,602 ∙ 10 - 19

h = 4,14 ∙ 10 - 15   e V ∙ s

Assim, para um nêutron numa caixa de comprimento L = 10 - 15   m :

E 1 = ( 4,14 ∙ 10 - 15 ) 2 8 ( 1,6749 ∙ 10 - 27 ) 10 - 15 2

E 1 = 204,53   M e V

Para os outros estados, vamos usar a relação:

E n = n 2 E 1

Assim, para n = 2 :

E 2 = 4 E 1 = 4 ( 204,53   M e V )

E 2 = 818   M e V

E para n = 3 :

E 3 = 9 E 1 = 9 204,53   M e V

E 3 = 1,84   G e V

Passo 2

Para montar o diagrama, vamos usar essa relação entre as energias nos estados excitados com a energia no estado fundamental:

E n = n 2 E 1

Assim, cada nível n será n 2 vezes maior que o estado fundamental:

Passo 3

(b) O comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o nêutron transita de um estado para outro é dado pela equação de Einstein para energia de fótons:

E = h c λ

λ = h c ∆ E

Então, de n = 2 → n = 1 :

∆ E = E 2 - E 1 = 4 E 1 - E 1

∆ E = 3 E 1

Dessa forma:

λ 2 → 1 = 1240   e V ∙ n m 3 ( 204,53   M e V )

λ 2 → 1 = 2,02 ∙ 10 - 15   m = 2,02   f m

Passo 4

(c) De n = 3 → n = 2 :

∆ E = E 3 - E 2 = 9 E 1 - 4 E 1

∆ E = 5 E 1

Dessa forma:

λ 3 → 2 = 1240   e V ∙ n m 5 ( 204,53   M e V )

λ 3 → 2 = 1,21 ∙ 10 - 15   m = 1 , 2 1   f m

Passo 5

(d) De n = 3 → n = 1 :

∆ E = E 3 - E 1 = 9 E 1 - E 1

∆ E = 8 E 1

Dessa forma:

λ 3 → 1 = 1240   e V ∙ n m 8 ( 204,53   M e V )

λ 3 → 1 = 0,758 ∙ 10 - 15   m = 0 , 758   f m

Resposta

(a) E 1 = 204,53   M e V ; E 2 = 818   M e V ; E 3 = 1,84   G e V

(b) λ 2 → 1 = 2,02   f m

(c) λ 3 → 2 = 1,21   f m

(d) λ 3 → 1 = 0,758   f m

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