Encontre as soluções gerais das equações:

(a) m x ¨ + b x ˙ - k x = 0 ,(b) m x ¨ - b x ˙ + k x = 0 .

Discuta a interpretação física dessas equações e suas soluções, supondo que sejam as equações do movimento de uma partícula.

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta a interpretação física dessas equações e suas soluções, supondo que sejam as equações do movimento de uma partícula.

F = - k x + a x - 3

Encontre V ( x )  e  x ( t )

V ( x ) = - ∫ f ⁡ d x

= - ∫ - k x d x - ∫ a x - 3 d x = k 2 x 2 + a 2 x - 2

V ( x ) = 1 2 k x 2 + a x - 2

m 2 ∫ x 0 x   [ E - V ( x ) ] - 1 / 2 d x = t , t 0 = 0 m 2 ∫ x 0 x   E - 1 2 k x 2 + a x 2 - 1 2 d x = t m 2 2 2 ∫ x 0 x   2 E - k x 2 + a x - 2 - 1 2 d x = m ∫ x 0 x   2 E - k x 2 - a x 2 - 1 2 d x =

m ∫ x 0 x   2 E x 2 - k x 4 - a x 2 - 1 2 d x = m ∫ x 0 x   x d x 2 E x 2 - k x 4 - a 1 / 2 = t

- k x 4 + 2 E x 2 - a = - k x 4 - 2 E k x 2 + a k

= - k x 4 - 2 E k x 2 + E 2 k 2 + a k - E 2 k 2 = - k x 2 - E k 2 - E 2 k 2 - a k = k E 2 - a k k 2 - x 2 - E k 2

m ∫ 00 x   x d x k E 2 - a k k 2 - x 2 - E k 2 1 / 2 = t m k ∫ x 0 x   x d x E 2 - a k k 2 - x 0 - k k 2 1 / 2 = t 1 2 m k θ - θ 0 = t

θ = 2 t k m + θ 0

x 2 = E k + E 2 - a k k s i n ⁡ θ

x 2 = E k + E 2 - a k k s i n ⁡ 2 + k m + θ 0

m k ∫ x 0 x   x d x E 2 a k k 2 - x 2 - E k 2 1 / 2 d e i x e ⁡ x 2 - E k = E 2 - a k k s i n ⁡ θ

2 x d x = e 2 - a k k c o s ⁡ θ d θ

1 2 m k ∫ 00 θ   E 2 - a k E 2 a k k 2 - E 2 - a k s i n 2 ⁡ θ 1 / 2 = 1 2 m k ∫ 0 θ   c o s ⁡ θ d θ 1 - s i n 2 ⁡ θ 1 / 2 = 1 2 m R ∫ θ 0 θ   d θ = 1 2 m k θ - θ 0

Resposta

1 2 m k θ - θ 0