O enunciado pede que a gente discuta a interpretação física dessas equações e suas soluções, supondo que sejam as equações do movimento de uma partícula.
F = - k x + a x - 3
Encontre
V ( x ) e x ( t )
V ( x ) = - ∫ f d x
= - ∫ - k x d x - ∫ a x - 3 d x = k 2 x 2 + a 2 x - 2
V ( x ) = 1 2 k x 2 + a x - 2
m 2 ∫ x 0 x [ E - V ( x ) ] - 1 / 2 d x = t , t 0 = 0
m 2 ∫ x 0 x E - 1 2 k x 2 + a x 2 - 1 2 d x = t
m 2 2 2 ∫ x 0 x 2 E - k x 2 + a x - 2 - 1 2 d x =
m ∫ x 0 x 2 E - k x 2 - a x 2 - 1 2 d x =
m ∫ x 0 x 2 E x 2 - k x 4 - a x 2 - 1 2 d x =
m ∫ x 0 x x d x 2 E x 2 - k x 4 - a 1 / 2 = t
- k x 4 + 2 E x 2 - a = - k x 4 - 2 E k x 2 + a k
= - k x 4 - 2 E k x 2 + E 2 k 2 + a k - E 2 k 2
= - k x 2 - E k 2 - E 2 k 2 - a k
= k E 2 - a k k 2 - x 2 - E k 2
m ∫ 00 x x d x k E 2 - a k k 2 - x 2 - E k 2 1 / 2 = t
m k ∫ x 0 x x d x E 2 - a k k 2 - x 0 - k k 2 1 / 2 = t
1 2 m k θ - θ 0 = t
θ = 2 t k m + θ 0
x 2 = E k + E 2 - a k k s i n θ
x 2 = E k + E 2 - a k k s i n 2 + k m + θ 0
m k ∫ x 0 x x d x E 2 a k k 2 - x 2 - E k 2 1 / 2
d e i x e x 2 - E k = E 2 - a k k s i n θ
2 x d x = e 2 - a k k c o s θ d θ
1 2 m k ∫ 00 θ E 2 - a k E 2 a k k 2 - E 2 - a k s i n 2 θ 1 / 2 =
1 2 m k ∫ 0 θ c o s θ d θ 1 - s i n 2 θ 1 / 2 =
1 2 m R ∫ θ 0 θ d θ = 1 2 m k θ - θ 0