Enunciado

Qual a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no processo Compton em termos de energia do fóton incidente h υ e da energia de repouso do elétron m 0 c 2 ?

Passo 1

Assumindo uma colisão elástica, onde há conservação de energia temos:

E i -   f o t . + m 0 c 2 = E f - f o t . + E f -   e l e t .

A energia final do elétron é dada por:

E f -   e l e t . =   K + m 0 c 2

Então temos:

E i -   f o t . + m 0 c 2 = E f - f o t . + K + m 0 c 2

Isolando o K, ficamos com:

K = E i -   f o t . + m 0 c 2 - E f - f o t . - m 0 c 2

K = E i -   f o t .   -   E f - f o t .

Passo 2

A energia cinética não pode ser expressar em função da energia final do fóton, como é dito no enunciado do exercício, então, vamos escrever a E f - f o t . em função da E i -   f o t . , com fizemos no exercício 17.

E f - f o t . =   h υ ' =   h c λ '

Conhecemos a relação entre λ ' e λ , dada pelo exemplo 2.4 do livro.

λ ' =   λ + Δ λ

Então, temos a energia final do fóton:

E f - f o t . =   h υ ' =   h c λ ' =     h c λ + Δ λ

E f - f o t . = h υ '

=   h c λ ' =     h c λ + [ ( h / m 0 c ) ( 1 -   c o s θ ) ]

O λ pode ser escrito em função da energia inicial do fóton, já que ele é o comprimento de onda do fóton incidente.

E i - f o t . =   h υ =   h c λ   →   λ =     h c E i - f o t .  

Substituindo na equação da E f - f o t . :

E f - f o t . =     h c   h c E i - f o t . + [ ( h / m 0 c ) ( 1 -   c o s θ ) ]

Colocando o h c em evidência o denominador, resultamos na equação:

E f - f o t . =     1   1 E i - f o t . + [ ( 1 / m 0 c 2 )   ( 1 -   c o s θ ) ]

Somando as frações do denominador (dentro das regras matemáticas), temos:

E f - f o t . =     1   m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ ) E i - f o t .       m 0 c 2

E f - f o t . =   E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ )

Passo 3

Voltando para nossa equação da energia cinética:

K = E i -   f o t .   -   E f - f o t .

Agora temos uma expressão, como termos aceitáveis pela questão, para substituir na equação da energia cinética.

K = E i -   f o t .   -   E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ )

Resposta

Mesmo com uma expressão pouco amigável, conseguimos fazer uma boa análise. A questão pede a máxima energia cinética, quer dizer, o maior valor possível que a energia cinética pode assumir. Para isso, a parcela correspondente a energia final do fóton tem que ser a menor possível, pois dessa forma, vai “retirar” da E i -   f o t . o menor valor, e isso vai ter como resultado um maior K.

Para que a expressão abaixo seja a menor possível…

E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ ) =   E f -   f o t .

O denominador tem que ser o maior valor. Para exemplificar melhor, vou usar uma analogia:

1 1 = 1 ;         1 10 = 0,1 ;           1 100 = 0,01

Percebe que quanto maior for o denominador, menor será o resultado da divisão? O que estamos procurando para o nosso exemplo, é a mesma coisa, qual é o maior valor que o denominador pode assumir. Sabemos que m 0 c 2   e     E i - f o t .     são constantes. O único componente que pode variar é o θ , então o maior valor que ( 1 -   c o s θ ) pode assumir, é 2, para quando o θ =   π ou qualquer múltiplo ímpar de π .

Então a maior energia cinética possível é dada por:

K = E i -   f o t .   -   E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   2   E i - f o t .    

Ver Outros Exercícios desse livro