A energia potencial para a força entre dois átomos em uma molécula diatômica tem a forma aproximada:

V ( x ) = - a x 6 + b x 12

onde x é a distância entre os átomos e a,b são constantes positivas. (a) Encontre a força. (b) Supondo que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso enquanto o outro se move ao longo de uma linha reta, descreva os movimentos possíveis.

(c) Encontre a distância de equilíbrio e o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio se a massa do átomo mais leve for m.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a distância de equilíbrio e o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio se a massa do átomo mais leve for m.

x ¨ m = F ( x , x ˙ T ) x ¨ m = k x 3

Em relação ao potencial, podemos ter

F = - d V ( x ) d x → - d V = k x - 3 d x → V ( x ) = k 2 x 2

Energia cinética: T = 1 2 m x ˙ 2

Assim o lagrangeando fica

L = 1 2 m x ˙ 2 - k 2 x 2

∂ L ∂ x = k x ; d d T ∂ L ∂ x ˙ = m x ¨

Passo 2

Para condição mínima temos

∂ L ∂ x - d d T ∂ L ∂ x ˙ = 0 → m x ¨ - k x = 0 x ¨ = a = d V d T = k m x → ∫ 0 v   d v = ∫ 0 τ   k m x d T

1 2 x 2 - x 0 2 = 1 2 k m T 2 x = x 0 2 + k m τ 2 x 2

Resposta

x = x 0 2 + k m τ 2 x 2