A equação 1/p + 1/i = 2/r para espelhos esféricos é uma aproximação que é válida apenas se a imagem for formada por raios que façam pequenos ângulos com o eixo central. Na verdade, muitos ângulos não são pequenos, o que reduz a nitidez da imagem. É possível analisar matematicamente este efeito. Observe a Fig. 34-22 e considere um raio que parte de uma fonte pontual (o objeto) situada no eixo central e faz um ângulo a com o eixo.

Para começar, determine o ponto de interseção do raio com o espelho. Se as coordenadas do ponto de interseção são x e y e a origem é o centro de curvatura do espelho, y = (x + p r) tan a e x2 + y2 = r2, em que p é a distância do objeto e r é o raio de curvatura do espelho. Em seguida, use a relação tan b = y/x para calcular a inclinação β da reta que liga o centro de curvatura ao ponto de interseção e use a relação α + γ = 2β para determinar a inclinação γ da reta que liga a imagem ao ponto de interseção. Finalmente, use a relação tan γ = y/(x + i r) para calcular a distância i da imagem.

a) Suponha que r = 12 cm e p = 20 cm. Para os valores seguintes de a, determine a posição da imagem, ou seja, a posição do ponto em que o raio refletido intercepta o eixo central: 0,500; 0,100; 0,0100 rad. Compare os resultados com os obtidos usando a equação 1/p + 1/i = 2/r. (b) Repita os cálculos para p = 4,00 cm.

Passo 1

Opa meus queridos, bora pra mais um probleminha do nosso Halliday!

a) A gente tem que α = 0.500 r a d , r = 12   c m e p = 20   c m .

A distância do objeto ao ponto x é dada por:

d = p - r + x = 8 + x

y = d t a n α = 4.3704 + 0.54630 x

Da solução de x 2 + y 2 = r 2 temos x   =   8.1398 .

β = tan - 1 ⁡ y x = 0.8253 r a d

γ = 2 β - α = 1.151 r a d

Da solução de t a n γ = y x + i - r obtemos i = 7.799 . Os outros resultados são mostrados sem as etapas intermediárias:

Para α = 0.100 r a d , temos i   =   8.544   c m .

Para α = 0 . 0 100 r a d , temos i   =   8.5 71   c m .

Então, da equação do espelho temos:

i   =   8.5 71   c m

Passo 2

b) Aqui os resultados são:

( α = 0.500 r a d ,   i = - 13.56   c m )

( α = 0 . 1 00 r a d ,   i = - 1 2 . 05   c m )

( α = 0 . 01 00 r a d ,   i = - 1 2 . 00   c m )

A equação do espelho nos dá:

  i = - 12.00   c m

Resposta

Letra a)

i   =   8.5 71   c m

Letra b)

  i = - 12.00   c m