Enunciado

Escreva cada vetor indicado na Figura 1.25 em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ .

Passo 1

Oieee pessoal, tudo bom?

Para resolver essa questão precisamos analisar os vetores dispostos na Figura 1.25 para escrevê-los em termos dos componentes unitários.

Um vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a 1, sem unidade, possuído o objetivo de apresentar uma direção e sentido no espaço. Eles nos auxiliam em cálculos de componentes de vetores. No plano x-y os vetores unitários são representados por i ^ e j ^ , onde é definido que o vetor unitário i ^ aponta no sentido positivo do eixo O x e o vetor unitário j ^ aponta no sentido positivo do eixo O y .

Um vetor V pode ser representado pelos vetores unitários de acordo com a expressão abaixo, onde V x e V y são um valor numérico que representa o tamanho do vetor na direção i ^ e j ^ respectivamente.

V → =   V x   i ^ +   V y   j ^

Passo 2

Agora, vamos fazer os cálculos das componentes para os vetores da Figura 1.25.

Temos dois vetores: A → e B → . Ambos estão com sua origem localizada no nosso plano de coordenadas x - y .

O vetor A possui apenas uma componente horizontal, perceba que ele não está inclinado em relação ao eixo O x como está o vetor B. Diante disso, conseguimos concluir que o vetor A possui apenas a componente i ^ . Além disso, ele aponta no sentido negativo do eixo O x , ou seja, teremos um sinal negativo na componente i.

Então, o vetor A é representado por:

A → =   - A x   i ^

Diante disso, precisamos calcular o valor de A x .

A Figura 1.25 indica o módulo de A → . Como ele possui apenas a componente i ^ , o valor do módulo corresponde ao nosso valor A x .

Então, a representação do vetor A em componentes fica:

A → =   - 12   i ^

Passo 3

Ao contrário do vetor A, o vetor B possui uma inclinação em relação ao eixo O x de 37 graus.

Ok! Então, de imediato sabemos que esse vetor possui tanto uma componente i ^ quanto uma componente j ^ . Ou seja, o vetor B é representado por:

B → =   B x   i ^ +   B y   j ^

Agora, resta saber seus valores. Para tal iremos utilizar o ângulo entre B → e o eixo O x e funções trigonométricas como cosseno e seno.

Traçamos um triângulo retângulo, onde a hipotenusa é o nosso vetor B e os catetos são as componentes, como na figura abaixo.

Para calcular a componente em i ^ :

cos ⁡ 37 =     B x B →

B x =   B → ∙ cos ⁡ 37

Considerando cos ⁡ 37 ≈ 0,80 :

B x =   18 ∙ 0,80 = 14,4

Para calcular a componente em j ^ :

sen ⁡ 37 =   B y B →

B y =   B → ∙ sen ⁡ 37

Considerando cos ⁡ 37 ≈ 0,60 :

B x =   18 ∙ 0,60 = 10,8

Portanto, a representação do vetor B em vetores unitários fica:

B → =   14,4   i ^ +   10,8   j ^

Resposta

A → =   - 12   i ^

B → =   14,4   i ^ +   10,8   j ^

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