Enunciado

Estamos interessados em posicionar uma sonda espacial entre a Terra e o Sol para observar erupções solares. A que distância do centro da Terra deve estar a sonda para que a atração gravitacional exercida pelo Sol seja igual á atração gravitacional exercida pela Terra? A Terra, a sonda e o Sol estarão em uma mesma linha reta.

Passo 1

Belezera pessoal, considerando que a sonda está entre a Terra e o Sol, existe um ponto muito peculiar entre esses dois astros que cancela a atração gravitacional entre os dois, fazendo as forças se equivalerem, nesse momento a sonda fica parada momentaneamente sem acelerar em direção a nenhum astro.

Esse ponto que queremos descobrir. Vale a pena lembrar que esse ponto só existirá de forma instantânea, por que logo depois a Terra já se moveu e não estará mais alinhada com o Sol. Mas neste instante, precisamos calcular a força de atração gravitacional da Terra e do Sol sobre a sonda e igualar estas duas forças. Os valores das massas da Terra e do Sol, assim como a distância que os separa podem ser encontrados no apêndice do livro. Então bora lá como fica essa brincadeira toda...

Passo 2

Vamos chamar a massa do Sol e da Terra de M S e M T , respectivamente, e seja d a distância entre o centro do Sol e o centro da Terra, e r a distância entre o centro da Terra e a sonda. Sendo assim, a força de atração entre a Terra e a sonda é dada como:

F T S = G M T m r 2

Enquanto a força entre o Sol e a sonda é dada como:

F S S = G M S m d - r 2

Igualando as atrações gravitacionais, temos

F T S = F S S

G M T m r 2 = G M S m d - r 2

Isolando a distância r , obtemos que:

M T r 2 = M S d - r 2

d - r 2 r 2 = M S M T

d - r r = M S M T

Logo:

d r - 1 = M S M T

d r = M S M T + 1

r = d 1 + M S / M T

Portanto, substituindo os valores que o enunciado fornece:

r = 1,50 × 10 11 1 + 1,99 × 10 30   kg 5,98 × 10 24   kg

r = 2,6 × 10 8   m

Assim, a distância da sonda até o centro do nosso planeta deve ser de 2,6 × 10 8   m .

Resposta

A distância de 2,6 × 10 8 m

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