Enunciado

Um exemplo da situação discutida no problema 73 , é o do isótopo radioativo T h 239 , um emissor de α com uma meia vida de 7300 a n o s . Seu filho, R a 225 , é um emissor β , com meia vida de 14,8 d i a s . Nesse caso, assim como em muitos outros casos, a meia vida do pai é muito mais longa que a meia vida do filho. Usando a expressão dada no problema 73 , na parte (b), começando com uma amostra pura de T h 229 contendo N P 0 núcleos, mostre que o número, N D , de núcleos de R a 225 , após muitos anos, irão ser dados por

N D = λ P λ D N P

Onde N P é o número de núcleos de T h 229 . É dito que o número de núcleos filho está em equilíbrio secular.

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou começar resgatando o resultado do problema 73 b :

N D t = N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

Passo 2

Mas sabemos que τ P ≫ τ D , então λ D ≫ λ P .

E com o passar dos anos, como λ P t ≪ 1 , podemos simplificar a exponencial:

e - λ P t - e - λ D t ≈ 1

E também, quando λ P ≪ λ D :

λ P λ D - λ P ≈ λ P λ D

Passo 3

E agora podemos substituir essas simplificações em N D ( t ) :

N D t = N 0 P   .   λ P λ D - λ P   .   e - λ P t - e - λ D t  

N D t = N 0 P . λ P λ D . 1

N D = λ P λ D N P

Beleza? Acabamos o capítulo! Parabéns!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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