Enunciado

A face superior da comporta de uma represa está em contato com a superfície da água. A comporta tem 2,0 m de altura, 4,0 m de largura e uma articulação ao longo de uma linha horizontal passando pelo seu centro (Figura P14.55). Calcule o torque produzido pela força da água em relação ao eixo da articulação. (Dica: use um procedimento análogo ao adotado no Problema 14.53; calcule o torque sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta).

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver esta questão, devemos aplicar os conceitos sobre pressão em uma profundidade e calcular o torque em relação a um eixo.

Sabe-se que o torque é dado pelo produto entre a força e a distância. A força devido à pressão aumenta conforme a profundidade. Primeiramente, vamos diferenciar o torque na parte superior do torque na parte inferior. A partir disso, teremos que como a força é maior na parte inferior, o torque neste lado também será maior, portanto, há uma resultante, cujo valor será:

T = T i n f - T s u p

Para calcular o torque devido à força em uma lâmina estreita de altura dy localizada a uma profundidade y abaixo do topo da comporta será calculada por uma integral

d F = p y   d A

d F = ρ g y   L d y

Passo 2

O braço de alavanca será igual a H/2, que é a metade da dimensão da altura da comporta, menos o valor da profundidade, y. Portanto, teremos:

d T = ρ g L H 2 - y y d y

Aplicando na parte superior da comporta, teremos:

T s u p = ∫ 0 H 2 ρ g L H 2 - y y d y = ρ g L H 3 48

Substituindo os valores

T s u p = 1000 9,81 4 2 3 48 = 6,53 × 10 3   N m

Passo 3

Para a parte inferior, teremos uma situação um pouco diferente, visto que o braço de alavanca não será a diferença entre a metade da altura da comporta e a profundidade, mas sim a soma entre a metade da altura da comporta e a profundidade.

T s u p = ∫ 0 H 2 ρ g L H 2 + y y d y = ρ g L 5 H 3 48

Substituindo os valores

T s u p = 1000 9,81 4 5 2 3 48 = 3,267 × 10 4   N m

Passo 4

Sabendo que o torque resultante é a diferença entre os torques, teremos:

T = T i n f - T s u p

Substituindo os valores

T = 3,267 × 10 4 - 6,53 × 10 3 = 2,61 × 10 4   N m

Resposta

Portanto, o torque resultante em relação ao eixo da articulação vale T = 2,61 × 10 4   N m .