Na Fig. 33-77, um albatroz está planando horizontalmente com uma velocidade constante de 15 m/s acima de um terreno plano, movendo-se em um plano vertical que inclui o Sol. A ave se aproxima de uma parede de altura h = 2,0 m e está à mesma altura do solo que a extremidade superior da parede. Nessa hora do dia, o ângulo do Sol em relação ao solo é θ = 30°. Com que velocidade a sombra do albatroz se move (a) horizontalmente, ao longo do solo, e (b) verticalmente, ao longo da parede? Mais tarde, um gavião percorre o mesmo caminho, com a mesma velocidade. Você observa que, no momento em que a sombra do gavião atinge a parede, a velocidade da sombra aumenta perceptivelmente. (c) Nesse momento, o Sol está mais alto ou mais baixo no céu que durante o voo do albatroz? (d) Se a velocidade da sombra do gavião na parede é 45 m/s, qual é o ângulo θ do Sol nesse momento?

Passo 1

Opa galerinha, tranquilo? Bora pra uma questãozinha do Halliday.

a) Para descobrir a velocidade em que a sombra do albatroz está se movendo, temos que considerar que o sol está suficientemente distante da terra para que os raios solares sejam considerados paralelos.

Assim, se um raio solar faz um ângulo θ com a horizontal quando o pássaro está em uma posição, outro raio faz o mesmo ângulo quando o pássaro está em outra posição. Com isso podemos concluir que a sombra do albatroz se move na mesma velocidade que o pássaro, ou seja:

V h , a l b a t r o z = 15.0   m / s

Passo 2

Tudo tranquilo até aqui né?...

b) Agora, vamos obter a velocidade do albatroz verticalmente ao longo da parede.

Analisando a figura abaixo, temos:

t a n θ =   y x

y =   x   t a n θ

Derivaremos a função em relação à t , pois sabemos que tanto o pássaro quanto sua sombra mudam sua posição conforme o tempo.

d y d t = d x d t   t a n θ

Sabemos que d x d t é a velocidade da sombra do albatroz na horizontal, que pelo item anterior é:

d x d t = 15.0   m / s

Dado que θ = 30 ° , temos:

d y d t = d x d t   t a n θ

d y d t = 15.0   m s t a n 30 °

d y d t = 8.7   m / s

Adotando o eixo y positivo para baixo, significa que a distância y está diminuindo à taxa de 8,7   m / s .

Passo 3

c) Vamos analisar agora a posição do sol durante o voou do albatroz comparando com o do gavião.

No passo anterior descobrimos a relação para o voou dos pássaros, dada por:

d y d t = d x d t   t a n θ

Quando o ângulo θ aumente a partir de 0 ° , já que o seno está aumentando e o cosseno diminuindo, significa que um valor maior d y / d t está associado a um valor maior de θ .

Logo, o sol vai estar mais alto no céu durante o voo do gavião do que durante o voo do albatroz. Já que por sua velocidade na parede da sombra ser maior, o ângulo θ também será!

Passo 4

d) a mesma formula usada para o albatroz será aplicada para o gavião, assim:

d y d t = d x d t   t a n θ

Isolando θ :

θ = tan - 1 ⁡ d y d t d x d t

no enunciado temos que a velocidade do gavião na parede é de 45 m/s ou seja   d y d x = 45   m / s   , todavia quando a velocidade da sombra do gavião, conforme fala o enunciado, vai ser a mesma do albatroz:   d x d t =   15   m / s .

Assim:

θ = tan - 1 ⁡ 45   m / s 15   m / s

θ = tan - 1 ⁡ 3

θ = 71.56 °

Resposta

Letra a)

V h , a l b a t r o z = 15.0   m / s

Letra b)

d y d t = 8.7   m / s

Letra c)

O sol vai estar mais alto no céu durante o voo do gavião.

Letra d)

θ = 71.56 °