Enunciado

Na Fig. 8-33, um caminhão perdeu os freios quando estava descendo uma ladeira a 130   k m / h e o motorista dirigiu o veículo para uma rampa de emergência sem atrito com uma inclinação θ = 15 ° . A massa do caminhão é 1,2 × 10 4   k g . (a) Qual é o menor comprimento L que a rampa deve ter para que o caminhão pare (momentaneamente) antes de chegar ao final? (Suponha que o caminhão pode ser tratado como uma partícula e justifique essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui ou permanece o mesmo (b) se a massa do caminhão for menor e (c) se a velocidade for menor?

Passo 1

Quando o caminhão passa a se deslocar na rampa de energia, somente a força gravitacional realiza trabalho, tendo em vista que não há atrito e a força normal atua perpendicular ao deslocamento. Assim, como o peso é uma força conservativa, podemos aplicar a conservação da energia mecânica, assim considerando o ponto inicial da ladeira de emergência como y 0 = 0 , então:

E M 0 = E M f

K 0 + U 0 = K f + U f

No ponto inicial, a altura é zero, portanto a energia potencial gravitacional é nula e, quando o caminhão alcança a altura máxima, a velocidade é nula e, portanto, a energia cinética é zero. Assim:

m v 0 2 2 + 0 = 0 + m g h

Isolando h :

h = v 0 2 2 g     e q . 1

Substituindo os valores:

h = 130 3,6 2 2 × 9,8 = 66,5   m

Obs: foi usado um fator de 1 / 3,6 multiplicando a velocidade para fazer a conversão de k m / h para m / s .

Passo 2

Usando a definição de sin ⁡ θ podemos relacionar a altura h com o comprimento da rampa L . Sabendo que:

sin ⁡ θ = h L

Isolando o L :

L = h sin ⁡ θ     e q . 2

Substituindo os valores:

L = 66,5 sin ⁡ 15 ° = 257   m

Portanto, a rampa deve ter no mínimo 257   m de comprimento.

Passo 3

Substituindo a e q . 1 na e q . 2 , temos:

L = v 0 2 2 g sin ⁡ θ

A partir dessa relação acima, percebemos que o comprimento não depende da massa do caminhão, portanto o comprimento permaneceria igual se houvesse uma variação da massa do caminhão. Entretanto, podemos ver que o comprimento é proporcional ao quadrado da velocidade, assim, se a velocidade for menor, o comprimento diminuirá.

Resposta

  1. L = 257   m ;
  2. i g u a l ;
  3. d i m i n u i .
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