Enunciado

Na Fig. 9-67, o bloco 1 de massa m 1 desliza sem velocidade inicial ao longo de uma rampa sem atrito a partir de uma altura h   =   2,50   m   e colide com o bloco 2 de massa m 2   =   2,00 m 1 , inicialmente em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético μ k é 0,500 e para depois de percorrer uma distância d   nessa região. Qual é o valor da distância d se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica?

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é achar a velocidade do bloco 1 quando ele atinge o solo, tranquilo?

Pra isso, podemos usar a conservação da energia mecânica. Como no topo não há velocidade e no solo não há potencial gravitacional, podemos igualar:

m v 1 2 2 = m g h

v 1 2 = 2 g h

v 1 = 2 g h

Passo 2

Beleza galera, agora vamos considerar que a colisão é elástica.

Pela conservação de momento linear, podemos relacionar as velocidades antes e imediatamente depois da colisão:

m 1 v 1 A C = m 1 v 1 D C + m 2 v 2 D C

Como queremos na verdade a velocidade do bloco 2 depois da colisão ( D C ) e sabemos a velocidade do bloco 1 antes da colisão ( A C ), podemos pegar essas duas equações e substituir com o que sabemos:

m 2 = 2 m 1

v 1 A C = 2 g h

E logo, substituindo na primeira equação desse passo, temos:

m 1 2 g h = m 1 v 1 D C + 2 m 1 v 2 D C

2 g h = v 1 D C + 2 v 2 D C

2 g h = v 1 D C + 2 v 2 D C 2

2 g h = v 1 D C 2 + 4 v 1 D C v 2 D C + 4 v 2 D C 2

Agora, pela conservação da energia cinética, temos:

m 1 v 1 A C 2 2 = m 1 v 1 D C 2 2 + m 2 v 2 D C 2 2

Daqui em diante a gente vai manipular a beça as fórmulas, porque a conservação da energia cinética que vai nos salvar. Como todo mundo ta sendo dividido por 2 , podemos tirar o denominador:

m 1 v 1 A C 2 = m 1 v 1 D C 2 + m 2 v 2 D C 2

E substituir os valores conhecidos de v 1 A C e m 2 :

m 1 2 g h 2 = m 1 v 1 D C 2 + 2 m 1 v 2 D C 2

m 1 2 g h = m 1 v 1 D C 2 + 2 m 1 v 2 D C 2

LÁÁÁ da conservação do momento linear, podemos substituir 2 g h e num próximo passo cortar os m 1 . Saca só como fica:

m 1 v 1 D C 2 + 4 v 1 D C v 2 D C + 4 v 2 D C 2 = m 1 v 1 D C 2 + 2 m 1 v 2 D C 2

v 1 D C 2 + 4 v 1 D C v 2 D C + 4 v 2 D C 2 = v 1 D C 2 + 2 v 2 D C 2

Cortando o termo v 1 D C 2 dos dois lados:

4 v 1 D C v 2 D C + 4 v 2 D C 2 = 2 v 2 D C 2

4 v 1 D C v 2 D C + 4 v 2 D C 2 v 2 D C 2 = 2

4 v 1 D C v 2 D C + 4 = 2

4 v 1 D C v 2 D C = - 2

v 1 D C = - 2 4 v 2 D C

v 1 D C = - 1 2 v 2 D C

Lembrando que da conservação do momento linear, obtemos:

m 1 v 1 A C = m 1 v 1 D C + m 2 v 2 D C

m 1 2 g h = m 1 v 1 D C + 2 m 1 v 2 D C

2 g h = v 1 D C + 2 v 2 D C

Substituindo v 1 D C obtido nessa última equação, ó só o que a gente encontra:

2 g h = - 1 2 v 2 D C + 2 v 2 D C

2 2 g h = - v 2 D C + 4 v 2 D C

2 2 g h = 3 v 2 D C

v 2 D C = 2 2 g h 3

E tai a velocidade do corpo que passará pela região com atrito no caso da colisão elástica!

Passo 3

Para uma colisão perfeitamente inelástica:

Pela conservação de momento linear, podemos relacionar as velocidades antes e imediatamente depois da colisão:

m 1 v 1 A C = m 1 + m 2 v 1,2 D C

Usando nossas considerações do passo 2 :

m 1 2 g h = m 1 + 2 m 1 v 1,2 D C

m 1 2 g h = 3 m 1 v 1,2 D C

2 g h = 3 v 1,2 D C

v 1,2 D C = 2 g h 3

E tai a velocidade do corpo que passará pela região com atrito no caso da colisão perfeitamente inelástica!

Passo 4

Show galera, resumindo os dois últimos passos, achamos que o corpo que passará pela região com atrito é, em cada caso:

Usando o teorema de que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas, achamos:

∆ K = W F N C

M V 2 2 - M V f 2 2 = F N C ∙ ∆ S

Como a velocidade final é zero porque chega no repouso:

M V 2 2 = F a t ∙ d

M V 2 2 = μ k ∙ N ∙ d

Como a normal se iguala a força peso:

M V 2 2 = μ k ∙ P ∙ d

M V 2 2 = μ k ∙ M ∙ g ∙ d

V 2 2 = μ k ∙ g ∙ d

d = V 2 2 ∙ μ k ∙ g

Para nossos casos então vamos ter:

Note que:

4 ∙ d I n e l á s t i c a = d P . I n e l á s t i c a

Portanto, substituindo os valores, achamos:

d I n e l á s t i c a = 2,5   m 9 ∙ 0,5 ≅ 0,556   m

d P . I n e l á s t i c a = 4 ∙ d I n e l á s t i c a ≅ 4 ∙ 0,556 ≅ 2,224   m

Resposta

d I n e l á s t i c a ≅ 0,556   m

d P . I n e l á s t i c a ≅ 2,224   m

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