Na Fig. 33-78, em que n1 = 1,70, n2 = 1,50 e n3 = 1,30, a luz é refratada do material 1 para o material 2. Se a luz incide no ponto A com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3, determine (a) o ângulo de refração no ponto B e (b) o ângulo inicial θ. Se, em vez disso, a luz incide no ponto B com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3, determine (c) o ângulo de refração no ponto A e (d) o ângulo inicial θ. Se, em vez disso, a luz incide no ponto A com o ângulo de Brewster para a interface entre os materiais 2 e 3, determine (e) o ângulo de refração no ponto B e (f) o ângulo inicial θ.

Passo 1

Opa galerinha, tranquilo? Bora pra uma questãozinha do Halliday.

a) No primeiro item, a gente tem que descobrir o ângulo de refração no ponto B! Pois bem, a gente tem que o ângulo de incidência θ B , 1 no ponto B é o complemento do ângulo de incidência A, que por sua vez é o ângulo crítico...

Logo, com base na figura acima, temos que:

s e n θ B , 1 = c o s θ C = 1 - n 3 n 2 2

E assim, podemos escrever o ângulo de refração θ B , 2 no ponto B com base na expressão abaixo:

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 s e n θ B , 1

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 1 - n 3 n 2 2

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 2 n 3 2 1 - n 3 2 n 2 2

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 2 n 3 2 - 1

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 2 - 1

Substituindo pelos valores dados na questão, temos:

θ B , 2 = s e n - 1 1.50 1.30 2 - 1

θ B , 2 = 35.1 °

Assim temos o ângulo de refração em B!

Passo 2

b) Em seguida, vamos tratar de obter o ângulo de incidência θ !

A gente consegue tirar a seguinte relação entre ângulo de incidência θ e o ângulo crítico θ B , c :

n 1 s e n θ = n 2 θ c

Só que s e n θ c pode ser escrito como:

s e n θ c = n 3 n 2

Logo, ficamos com:

n 1 s e n θ = n 2 s e n θ c

n 1 s e n θ = n 2 n 3 n 2

s e n θ = n 3 n 2

θ = s e n - 1 n 3 n 2

substituindo os valores, temos:

θ = s e n - 1 1.30 1.70 = 49.0 °

Passo 3

c) o ângulo de incidência θ A , 1 no ponto A é o complemento do ângulo de incidência no ponto B, que, por sua vez, é o ângulo critico, ou seja:

s e n θ A , 1 = c o s θ C = 1 - n 3 n 2 2

Assim o valor do ângulo de refração s e n θ A , 2 , no ponto A, será:

θ A , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 s e n θ A , 1

θ A , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 1 - n 3 n 2 2

θ A , 2 = s e n - 1 n 2 2 n 3 2 1 - n 3 2 n 2 2

θ A , 2 = s e n - 1 n 2 2 n 3 2 - 1

θ A , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 2 - 1

Substituindo, ficamos com:

θ A , 2 = s e n - 1 1,50 1.30 2 - 1

θ A , 2 = 35.1 °

Passo 4

d) Quanto ao ângulo de incidência inicial θ, considerando a nova condição, temos que:

n 1 s e n θ = n 2 s e n θ A , 1

Porém do item anterior, a gente sabe que:

s e n   θ A , 1 = 1 - n 3 n 2 2

Logo:

n 1 s e n θ = n 2 s e n θ A , 1

n 1 s e n   θ A , 1 = n 2 1 - n 3 n 2 2

n 1 s e n θ = n 2 2 - n 3 2

s e n θ = n 2 2 - n 3 2 n 1

θ = s e n - 1 n 2 2 - n 3 2 n 1

Substituindo os valores temos:

θ = s e n - 1 1.5 2 - 1.3 2 1.7

θ = 26.1 °

Passo 5

e) A partir desse quinto item, a situação agora é um pouco diferente. Temos eu considerar que a luz incide no ponto A com o ângulo de Brewster para a interface entre os materiais 2 e 3.

Bom! O ângulo de incidência θ B , 1 no ponto B é o complemento do ângulo de incidência no ponto A, que, por sua vez, é o ângulo de Brewster. Sendo assim, temos que:

s e n θ B , 1 = n 1 n 2 2 + n 3 2

E portanto, o ângulo de refração θ B , 2 no ponto B é:

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 n 3 × n 2 n 2 2 + n 3 2

θ B , 2 = s e n - 1 n 2 2 n 3 n 2 2 + n 3 2

Sendo assim:

θ B , 2 = s e n - 1 1.5 2 1.3 1.5 2 + 1.3 2

θ B , 2 = 60.7 °

Passo 6

f) Para finalizar, falta obter o ângulo inicial θ!

Pra fazer isso, bora usar a relação abaixo:

n 1 s e n θ = n 2 s e n θ B r e w s t e r

Onde:

s e n θ B r e w s t e r = n 3 n 2 2 + n 3 2  

Desse modo:

n 1 s e n θ = n 2 s e n θ B r e w s t e r

n 1 s e n θ = n 2 n 3 n 2 2 + n 3 2  

n 1 s e n θ = n 2 n 3 n 1 n 2 2 + n 3 2  

θ = sin - 1 ⁡   n 2 n 3 n 1 n 2 2 + n 3 2  

θ = sin - 1 ⁡   1.5 × 1.3 1.7 1.5 2 + 1.3 2  

θ = 35.3 °

Resposta

Letra a)

θ B , 2 = 35.1 °

Letra b)

θ = 49.0 °

Letra c)

θ A , 2 = 35.1 °

Letra d)

θ = 26.1 °

Letra e)

θ B , 2 = 60.7 °

Letra f)

θ = 35.3 °