A figura 24-28 mostra dois capacitores com metade do espaço entre suas placas preenchido com um dielétrico. As áreas e as distâncias de separação dos capacitores são idênticas. Qual deles possui a maior capacitância, o mostrado na figura (a) ou o mostrado na figura (b)?

Passo 1

Opaaa.. Blz?!

Temos aqui uma questão interessante, vamos analisar direitinho e resolvê-la, ok? Let’s go!!!

Podemos tratar a configuração em (a) como dois capacitores em paralelo e a configuração em (b) como dois capacitores em série.

Vamos encontrar a capacitância equivalente de cada configuração e examinar sua relação, assim nos permitirá decidir se (a) ou (b) tem a maior capacitância. Em ambos os casos, vamos deixar C 1 ser a capacitância do capacitor preenchido com dielétrico e C 2 ser a capacitância do capacitor de ar.

Passo 2

Na configuração (a) nós temos:

C a = C 1 + C 2

Expresse C 1 e C 2 :

C 1 = k ϵ 0 A 1 d 1 = k ϵ 0 1 2 A d = k ϵ 0 A 2 d

e

C 2 = ϵ 0 A 2 d 2 = ϵ 0 1 2 A d = ϵ 0 A 2 d

Substitua por C 1 e C 2 e simplifique para obter:

C a = k ϵ 0 A 2 d + ϵ 0 A 2 d = ϵ 0 A 2 d ( k + 1 )

Tranquilo?!

Continuando...

Na configuração (b) temos:

1 C b = 1 C 1 + 1 C 2 ⇒ C b = C 1 C 2 C 1 + C 2

Passo 3

Expresse C 1 e C 2 :

C 1 = ϵ 0 A 1 d 1 = ϵ 0 A 1 2 d = 2 ϵ 0 A d

e

C 2 = k ϵ 0 A 2 d 2 = k ϵ 0 A 1 2 d = 2 k ϵ 0 A d

Calma, tá quase lá...

Substitua C 1 e C 2 e simplifique para obter:

C b = 2 ϵ 0 A d 2 k ϵ 0 A d 2 ϵ 0 A d + 2 k ϵ 0 A d

= 2 ϵ 0 A d 2 k ϵ 0 A d 2 ϵ 0 A d ( k + 1 )

= 2 ϵ 0 A d k k + 1

Passo 4

Divida C b por C a :

C b C a = 2 ϵ 0 A d k k + 1 ϵ 0 A 2 d k + 1 = 4 k k + 1 2

E finalmente, observe que:

Como 4 k k + 1 2 < 1 para k > 1 :

C a > C b

Resposta

Na figura (a).