Enunciado

A figura a mostra uma molécula composta por dois átomos de massa m e M (com m ≪ M ) separados por uma distância r . A figura b mostra a energia potencial U ( r ) da molécula em função de r . Descreva o movimento dos átomos (a) se a energia mecânica total E do sistema é maior que zero (como E 1 ) e (b) se E é menor que zero (como E 2 ). Para E 1 = 1 × 10 - 19   J e r = 0,3   n m , determine (c) a energia potencial do sistema, (d) a energia cinética total dos átomos e (e) a força (módulo e orientação) que atua sobre cada átomo. Para que valores de r a força é (f) repulsiva, (g) atrativa e (h) nula?

Passo 1

Para interpretar o gráfico na figura b , pense o seguinte: o sistema só pode estar em pontos que ficam abaixo da linha da energia.

(a) No caso da energia E 1 , o sistema pode ficar apenas entre r = 1   n m e r → ∞ .

Além disso, a reta E 1 cruza o gráfico aproximadamente em r = 0,07   n m . Isso quer dizer que, nesse caso, os átomos se aproximariam até esse valor de r , e depois começariam a se afastar até r → ∞ .

Passo 2

(b) No caso E 2 , os átomos estarião “aprisionados” entre os dois pontos em que a reta E 2 intersecta o gráfico.

Ou seja, os gráficos ficariam oscilando entre r 1 ≅ 0,16   n m e r 2 ≅ 0,28   n m :

0,16   n m ≤ r ≤ 0,28   n m

Se não houver perda de energia (que na realidade sempre há), esse movimento se repetiria para sempre.

Passo 3

(c) Se E 1 = 1   .   10 - 19   J e r = 0,3   n m , como podemos calcular a energia potencial do sistema?

Na verdade o valor de E 1 não interfere nesse primeiro resultado, podemos apenas olhar para o gráfico em r = 0,3   n m e ver que o valor de U ( 0,3 ) é próximo de:

U = - 1,1   .   10 - 19   J

Passo 4

(d) Para encontrar a energia cinética total dos átomos, é só lembrar do seguinte:

E = U + K

1.10 - 19 = - 1,1   .   1 0 - 19 + K

K = 2,1   .   10 - 19   J

Passo 5

(e) Como encontrar a força a partir da energia potencial:

F = - d U d x

Mas como queremos o módulo da força:

F = d U d x

Ou seja, temos que fazer uma estimativa para a inclinação do gráfico em r = 0,3   n m para calcular essa força.

Mais cedo, nós disssemos que U r = - 1,1   .   10 - 19   J quando r = 0,3   n m , Como aquele trecho do gráfico é muito próximo de uma reta, vamos pegar um ponto vizinho:

r = 0,31   n m         ⇒   - 1,0   .   10 - 19   J

Então a inclinação da reta é:

F = - 1,0   .   10 - 19 - - 1,1   .   10 - 19 0,31   .   10 - 9 - 0,30   .   10 - 9 = 1   .   10 - 9   N

Essa é uma estimativa bem “grosseira”, mas é o melhor que podemos fazer nesse caso.

Como nesse instante a inclinação é positiva, então a força tem sinal negativo, ou seja, ela faz com que r diminua. Por isso ela age no sentido de aproximar os dois átomos.

Passo 6

(f) A força é repulsiva (sinal positivo, pois aumenta o valor de r ), quando a inclinação do gráfico é negativa.

Isso acontece em r < 0,2   n m .

Passo 7

(g) A força é atrativa (sinal negativo, pois diminui o valor de r ), quando a inclinação do gráfico é positiva.

Isso acontece em r > 0,2   n m .

Passo 8

(h) A força é nula apenas quando estamos sobre os pontos críticos do gráfico, ou seja, quando a inclinação é nula.

Isso acontece apenas no ponto de mínimo local em r = 0,2   n m .

Resposta

(a) Haveria um ponto de retorno em r ≅ 0,07   n m , e outro no infinito.

(b) Haveria pontos de retorno nos dois pontos em que a reta E 2 cruza o gráfico.

(c) A energia potencial é próxima de - 1,1   .   10 - 19   J .

(d) A energia cinética é K = 2,1   .   0 - 19   J .

(e) O módulo da força é 1   .   10 - 9   N , e age no sentido de atrair os átomos.

(f) A força é repulsiva para r < 0,2   n m .

(g) A força é atrativa para r > 0,2   n m .

(h) A força é nula para r = 0,2   n m .

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