Enunciado

A figura mostra uma visa de cima de um anel que pode girar em torno do centro como um carossel. O raio externo R 2 é 0,800   m , o raio interno R 1 é R 2 / 2,00 , a massa M é 8,00   k g e a massa da cruz no centro é desprezível. Inicialmente, o disco gira com uma velocidade angular de 8,00   r a d / s , com um gato de massa m = M / 4,00 na borda externa, a uma distância R 2 do centro. De quanto o gato aumentará a energia cinética do sistema gato-disco se rastejar até a borda interna, de raio R 1 ?

Passo 1

Vamos começar aplicando a conservação de momento angular.

Nos dois instantes (antes e depois do gato rastejar para dentro do anel), o momento angular segue uma expressão como essa:

L = L g a t o + L d i s c o

L = m v r + I ω

Onde m , v e r são a massa, a velocidade e o raio da posição do gato, I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular do disco.

Vamos reescrever a velocidade como v = ω r :

L = m ω r 2 + I ω

E o momento de inércia do disco segue a seguinte expressão:

I = 1 2 M R 1 2 + R 2 2

Então:

L = m ω r 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω

Passo 2

Beleza, agora vamos comparar os estados inicial e final.

Inicialmente, a velocidade angular era ω 0 e o gato estava em r = R 2 :

L 0 = m ω 0 R 2 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω 0

E mais tarde, a velocidade angular era ω f e o gato estava em r = R 1 :

L f = m ω f R 1 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω f

Pela conservação do momento angular, podemos escrever o seguinte:

m ω 0 R 2 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω 0 = m ω f R 1 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω f

Podemos colocar um termo parecido em evidência dos dois lados:

m ω 0 R 2 2 1 + 1 2 M m R 1 2 R 2 2 + 1 = m ω f R 1 2 1 + 1 2 M m 1 + R 2 2 R 1 2

Ok, vamos ver o que dá pra fazer com essa igualdade.

Passo 3

Nosso objetivo final é encontrar a variação de energia cinética. Para isso vamos precisar de uma comparação entre as velocidades angulares inicial e final.

ω f ω 0 = R 2 2 1 + 1 2 M m R 1 2 R 2 2 + 1 R 1 2 1 + 1 2 M m 1 + R 2 2 R 1 2

A razão entre os raios é R 2 / R 1 = 2,0 , e a razão entre as massas é M / m = 4,00 , então:

ω f ω 0 = 2,00 2 1 + 1 2 4,00 1 2,00 2 + 1 1 + 1 2 4,00 1 + 2,00 2

ω f ω 0 = 4,00 3,5 11 = 1,273

Passo 4

Ok, agora que temos uma comparação entre as velocidades angulares, vamos fazer uma comparação entre as energia cinéticas inicial e final:

K f K 0 = 1 2 I f ω f 2 1 2 I 0 ω 0 2

O momento de inércia total do sistema muda quando o gato se desloca para dentro, mas fazer uma substituição:

L = I ω       ⇒         I = L / ω

Então, com os momentos L f e L 0 são iguais:

K f K 0 = L f ω f L 0 ω 0 = ω f ω 0 = 1,273

K f = 1,273   K 0

Ou seja, a variação de energia cinética é:

Δ K = K f - K 0 = 0,273   K 0

Passo 5

Nosso problema agora é só calcular a energia cinética inicial do sistema:

K 0 = 1 2 I 0 ω 0 2

Podemos separar esse momento de inércia em dois: o do gato e o do disco:

K 0 = 1 2 I g a t o + I d i s c o   ω 0 2

K 0 = 1 2 m R 2 2 + 1 2 M R 1 2 + R 2 2 ω 0 2

K 0 = 1 2 m R 2 2 ω 0 2 1 + 1 2 M m   R 1 2 R 2 2 + 1

Agora é só substituir os valores:

K 0 = 1 2 2,00 0,800 2 8,00 2 1 + 1 2 4,00 1 2 2 + 1 = 143,36   J

E então a variação de energia é:

Δ K = 0,273   K 0

Δ K = 0,273 143,36 = 39,1   J

Resposta

A energia cinética do sistema gato-disco aumentará em 39,1   J .

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