Enunciado

A FIGURA PD31.74 mostra um fio composto de dois segmentos de mesmo diâmetro, mas feitos com materiais de condutividades σ 1 e σ 2 . Quando a corrente I passa pelo fio, uma fina camada de carga acumula-se no limite entre os segmentos.

a. Obtenha uma expressão para a densidade de carga superficial η no limite. Expresse seu resultado em função de I ,   σ 1 ,   σ 2 e da área A da secção transversal do fio.

b. Um fio com 1.0 mm de diâmetro, composto por segmentos de cobre e de ferro, conduz uma corrente de 5.0 A. Que quantidade de carga se acumula no limite entre os segmentos?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Nossa figura mostra que a corrente que passa pelos materiais é a mesma. Por tanto uma corrente conservada indica que I 1 = I 2 = I , a densidade de corrente é dada pela equação J = I A . Através da gaussiana você pode observar que o campo elétrico também aponta na mesma direção da corrente I . Uma vez que J = σ E , teremos um campo elétrico para cada material. Assim J 1 = σ 1 E 1   e   J 2 = σ 2 E 2

E 1 = I A σ 1 , E 2 = I A σ 2

Pela superfície gaussiana podemos verificar que:

Φ = ∫ E d A = Q ϵ 0 , onde Q é a carga interna E ∫ d A = Q i n t ϵ 0 isso acontece devido a concentração das cargas acumuladas entre os cilindros. Desse modo, o fluxo do campo elétrico é da forma: Φ = E 2 a - E 1 a e Q i n t = η a que está concentrado entre os dois cilindros. Agora ajeitando o fluxo, temos

Φ = E 2 a - E 1 a =   η a ϵ 0

η = ϵ 0 a ( E 2 a - E 1 a ) = ϵ 0 ( π R ² ) I σ 2 - I σ 1

Passo 2

Podemos usar a fórmula encontrada no item (a) e substituir os valores que são fornecidos no item (b)

η = ϵ 0 ( π R ² ) I σ 2 - I σ 1 = Q π R ²

Q = ( 8.85 × 1 0 - 12 C ² / N m ² ) ( 5 A ) 1 σ f e r r o - 1 σ c o b r e =

= ( 8.85 × 1 0 - 12 C ² / N m ² ) ( 5 A ) 1 1 × 1 0 7 Ω - 1 m - 1 - 1 6 × 1 0 7 Ω - 1 m - 1

Q = 3.7 × 1 0 - 18 C

Resposta

(a) η = ϵ 0 ( π R ² ) I σ 2 - I σ 1

(b) Q = 3.7 × 1 0 - 18 C

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