No final da série de óperas de Wagner, O anel dos Nibelungos, Brunhilda tira o anel de ouro do dedo de Siegfried e o arremessa dentro do rio Reno, onde o anel submerge até o fundo. Supondo que o anel fosse pequeno o bastante comparado à profundidade do rio para ser considerado um ponto e que o Reno tenha 10 m de profundidade no ponto em que o anel foi jogado, qual é a área do maior círculo na superfície da água em que a luz do anel poderia escapar da água?

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos pensar um pouco: como podemos relacionar o ângulo crítico com a área de uma circunferência?

Nesse esqueminha a gente tem o anel lá no fundo do rio a uma profundidade de 10 m. Se a gente aumenta o ângulo para além do ângulo crítico, não tem refração (a luz não muda de um meio para o outro). Então pra isso, a gente tem que estar a uma distância r ali na superfície da água pra que a gente consiga ver essa luz refletida.

Lembrando que A = π r 2 .

Passo 2

Beleza, mas e aí? Como a gente vai achar esse θ c e esse r ?

O ângulo crítico a gente vai achar pela Lei de Snell.

n 1 s e n θ 1 =   n 2 s e n θ 2

1,33   s e n θ 1 = 1   s e n   90 °

s e n θ 1 = s e n 90 ° 1,33

θ 1 = a r c s e n   1 1,33 = 48,7 °

E esse é o nosso ângulo crítico. Para ângulos maiores que esse, a luz do anel não passa para o ar.

Passo 3

Achando agora aqui a nossa área:

A =   π r 2

Por trigonometria, temos que tan ⁡ θ c = r 10 . Então:

tan ⁡ 48,7 ° = r 10

r ≈ 10 × 1,13 = 11,3   m

Calculando então a área, temos:

A =   π   11,3 2

A =   401   m 2

Resposta

A =   401   m 2