Enunciado

Um fio retilíneo muito longo (trate como infinito) está eletrizado com uma densidade linear de carga λ . Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme q colocada à distância ρ do fio. Sugestão: tome a origem em O (fig.) e o fio como eixo z. Exprima a contribuição de um elemento dz fio à uma distância z da origem em função do ângulo θ da figura. Use argumentos de simetria.

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Quando ele sugere usar argumentos de simetria, é fazermos uma espécie de espelhamento, como mostrarei na figura abaixo:

A parte em vermelho é nosso “argumento de simetria”. Na componente X temos o versos î com c o s θ   î = ρ / r , perceba que são duas componentes da força partindo de dz em ambos os lados acima e abaixo da nossa imagem.

Como se trata de uma densidade linear de carga. Nosso dQ(carga de um elemento dz do fio) passa a ser da forma d Q = λ   d z → Q = λ   d z Se olharmos acima e abaixo, na componente x temos duas contribuições de dz. Portanto podemos tratar da seguinte forma

d F x = 2 d F c o s θ = 2 q d Q 4 π ϵ 0 r ²   ρ r = q   λ   ρ 2 π ϵ 0   d z r ³ = q   λ   ρ 2 π ϵ 0   d z ( ρ ² + z ² ) 3 / 2

Integrando ambos os lados ficamos com

F → = q   λ   ρ 2 π ϵ 0   ∫ 0 L d z ( ρ ² + z ² ) 3 / 2

Passo 2

Bem, nosso próximo passo é ir atrás da solução da nossa integral. Essa integral é do tipo trigonométrica onde podemos obter a solução dela em uma tabela de integrais a qual nosso resultado passa a ser:

∫ 0 L d z ( ρ ² + z ² ) 3 / 2 = z ρ ² ( ρ ² + z ² ) 1 / 2 | 0 L

Resposta

Deste modo nossa resposta é:

F → = q   λ   ρ 2 π ϵ 0   ∫ 0 L d z ( ρ ² + z ² ) 3 / 2 = q   λ   ρ 2 π ϵ 0 z ρ ² ( ρ ² + z ² ) 1 / 2 | 0 L = q   λ   2 π ϵ 0   ρ   L ( ρ ² + L ² ) 1 / 2 - 0

colocando L em evidência

F → = q   λ   2 π ϵ 0   ρ   1 ( ρ ² / L ² + 1 ) 1 / 2 , para L → ∞ (fio muito longo) a força eletrostática toma a forma simplificada:

F → = q   λ   2 π   ϵ 0   ρ .