A força age sobre um oscilador a partir de .
a) Quais os valores iniciais de e , de modo que não exista transiente.
Passo 1
Oiiie, tudo bem com você?
Temos aqui um oscilador harmônico amortecido (o enunciado não diz explicitamente, mas o transiente está relacionado ao termo de decaimento exponencial relacionado ao amortecimento), temos então a seguinte equação diferencial:
Precisamos encontrar tanto a solução da parte homogênea quanto a solução particular, no entanto, o enunciado não deixa claro qual tipo de amortecimento temos neste problema. Para cada escolha , e . Temos uma solução diferente, como o capítulo trata esta temática utilizando o contexto subcrítico, vou utilizar esta, o método de tratamento para as outras escolhas será análogo (com resultados diferentes), a solução da parte homogênea nestas condições é:
ou, da mesma forma:
em que e . Ambas dependem de duas constantes e precisam portanto de duas condições iniciais, elas tomam a forma:
A primeira alternativa trata de escolher as condições iniciais (3) de forma a eliminar a solução transiente. Mas antes de podermos fazer isso, precisamos de uma solução particular, beleza?
Passo 2
Temos a seguinte expressão na parte não-homogênea . Utilizando o método de coeficientes a determinar, podemos chutar uma solução e obter constantes que respeitem a equação (1), saca só o formato deste chute:
Para usar a equação (1) precisamos das derivadas, vamos fazer isso de uma vez!
Vamos aplicar (5) e (6) na equação (1). Vamo que vamo!
Passo 3
Nós vamos obter o seguinte
Podemos identificar então as equações necessárias para que a igualdade seja possível, e assim determinar nossos coeficientes, saca só!
E portanto usando o resultado (8) em (7), temos:
Usando (9) em (8), temos:
Portanto nossa solução particular (4) toma a forma:
Okay, quase lá! Agora que temos nossa solução particular, precisamos juntar e encontrar a nossa solução geral, aplicar as condições iniciais e ver qual escolha elimina o transiente! Bora lá!
Passo 4
A solução geral toma a forma:
Portanto:
Para aplicar as condições iniciais (3), precisamos da derivada dessa monstruosidade acima, bora lá!
Vamos aplicar as condições (3) então!
Passo 5
Usando as condições (3) em (12), temos:
Agora aplicando (3) em (13), temos:
Usando em (15), temos finalmente:
Beleza… para terminar isso precisamos agora escolher e , de forma que ambas as constantes sejam nulas, pois assim o transiente seria eliminado. Vamos lá!
Passo 6
Para que seja nulo, é necessário pela equação (14), que seja o seguinte:
Agora usando (17) em (16) (Meu deus…) nós temos:
Portanto:
As equações (17) e (18) nos dão exatamente as condições necessárias para que o transiente não exista! A alternativa a) é isso, bora para a b).
Resposta
e