Uma força age sobre um oscilador harmônico de massa , a constante da mola e a constante de amortecimento . Determine uma solução particular da equação do movimento, partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada.
Passo 1
Eaew, tudo bem? Bora resolver uma questãozinha de mecânica analítica?
Esta questão é muuuuito mais equações diferenciais do que qualquer outra coisa, a física aqui vai durar 2 linhas, aplicando a segunda lei de Newton temos:
Pronto, agora temos uma equação diferencial de segunda ordem, note que aqui eu desconsiderei a existência de amortecimento, mas se houvesse, seria apenas adicionar um termo de no lado esquerdo da equação (1). Diferente do que usualmente obtemos, esta equação diferencial é não-homogênea, portanto, devemos obter uma solução particular para este sistema e analisar a junção dela com a parte homogênea em condições iniciais arbitrárias da forma:
Bora lá!
Passo 2
Para resolver a parte homogênea desta equação devemos considerar o seguinte:
Da qual podemos obter o seguinte polinômio característico:
Que nos garante uma solução da parte homogênea no formato:
As constantes vão ser obtidas utilizando as condições iniciais, belezinha? Vamos agora achar a solução particular!
Passo 3
Para uma expressão com o formato , é conveniente escolher uma solução particular da seguinte maneira:
Se utilizarmos esta expressão na equação (1), podemos utilizar o método de coeficientes a determinar para encontrar , saca só:
Portanto, nossa solução particular é da forma:
Agora, vamos escrever a nossa solução e aplicar as condições iniciais, topzera?
Passo 4
A solução da equação diferencial (1) é tal que:
Aplicando as condições iniciais (2), temos que:
e também que:
e portanto:
As equações (5) e (6) nos dão um sistema linear para resolver, bora lá!
Passo 5
Reescrevendo um pouco a equação (6), como:
E utilizando a equação (5) para o valor de B (ou A, você que sabe!), temos:
Portanto, temos:
E voltando na equação para B, temos:
Finalmente, nossa solução é da forma:
Em teoria a nossa solução mais geral é esta! Mas ainda é possível reescrever ela um pouquinho, beleza?
Passo 6
Vamos reescrever isso um pouquinho (Está feio que dói!):
Vamos utilizar a equação de Euler da forma , para simplificar este sistema ainda mais, beleza?
Passo 7
Temos que:
Acho que agora está suficiente (Já chega!!!). Te vejo na próxima! Tchauzinho
Resposta
No passo 7.