Uma força F 0 e - a t age sobre um oscilador harmônico de massa m , a constante da mola k e a constante de amortecimento b . Determine uma solução particular da equação do movimento, partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada.

Passo 1

Eaew, tudo bem? Bora resolver uma questãozinha de mecânica analítica?

Esta questão é muuuuito mais equações diferenciais do que qualquer outra coisa, a física aqui vai durar 2 linhas, aplicando a segunda lei de Newton temos:

m x ¨ ( t ) = - k x ( t ) + F 0 e - a t → x ¨ ( t ) + k m x ( t ) = F 0 m e - a t → x ¨ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = F 0 m e - a t           ( 1 )

Pronto, agora temos uma equação diferencial de segunda ordem, note que aqui eu desconsiderei a existência de amortecimento, mas se houvesse, seria apenas adicionar um termo de b m x ˙ ( t ) no lado esquerdo da equação (1). Diferente do que usualmente obtemos, esta equação diferencial é não-homogênea, portanto, devemos obter uma solução particular para este sistema e analisar a junção dela com a parte homogênea em condições iniciais arbitrárias da forma:

x ( t = 0 )   =   x 0       e       x ˙ ( t = 0 ) = v 0           ( 2 )

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a parte homogênea desta equação devemos considerar o seguinte:

x ¨ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 0

Da qual podemos obter o seguinte polinômio característico:

r 2 + ω 0 2 = 0 → r = ± i ω 0

Que nos garante uma solução da parte homogênea no formato:

x h ( t )   =   A e i ω 0 t + B e - i ω 0 t           ( 3 )

As constantes vão ser obtidas utilizando as condições iniciais, belezinha? Vamos agora achar a solução particular!

Passo 3

Para uma expressão com o formato F 0 m e - a t , é conveniente escolher uma solução particular da seguinte maneira:

x p ( t )   =   C e - a t

Se utilizarmos esta expressão na equação (1), podemos utilizar o método de coeficientes a determinar para encontrar C , saca só:

C a 2 e - a t + ω 0 2 C e - a t = F 0 m e - a t → C ( a 2 + ω 0 2 ) = F 0 m → C = F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 )

Portanto, nossa solução particular é da forma:

x p ( t )   =   F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )           ( 4 )

Agora, vamos escrever a nossa solução e aplicar as condições iniciais, topzera?

Passo 4

A solução da equação diferencial (1) é tal que:

x ( t ) = x h ( t ) + x p ( t )   =   A e i ω 0 t + B e - i ω 0 t + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )  

Aplicando as condições iniciais (2), temos que:

x 0   =   A + B + F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 )           ( 5 )

e também que:

x ˙ ( t )   =   A i ω 0 e i ω 0 t - B i ω 0 e - i ω 0 t - a F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )

e portanto:

v 0   =   A i ω 0 - B i ω 0 - a ( a 2 + ω 0 2 ) F 0 m           ( 6 )

As equações (5) e (6) nos dão um sistema linear para resolver, bora lá!

Passo 5

Reescrevendo um pouco a equação (6), como:

v 0   =   i ω 0 ( A - B ) - a ( a 2 + ω 0 2 ) F 0 m

E utilizando a equação (5) para o valor de B (ou A, você que sabe!), temos:

x 0   - A - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) =   B

Portanto, temos:

v 0 = i ω 0 ( A - x 0 + A + F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ) → 2 A   =   v 0 i ω 0 + x 0 - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) →

→ A   =   1 2 [ v 0 i ω 0 + x 0 - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ]           ( 7 )

E voltando na equação para B, temos:

x 0 -   1 2 [ v 0 i ω 0 + x 0 - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ] - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) = B

B   =   1 2 [ x 0 + F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) - v 0 i ω 0 ]           ( 8 )

Finalmente, nossa solução é da forma:

x ( t ) = A e i ω 0 t + B e - i ω 0 t + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 ) →

→ x ( t ) = 1 2 [ v 0 i ω 0 + x 0 - F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ] e i ω 0 t + 1 2 [ x 0 + F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) - v 0 i ω 0 ] e - i ω 0 t + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )

Em teoria a nossa solução mais geral é esta! Mas ainda é possível reescrever ela um pouquinho, beleza?

Passo 6

Vamos reescrever isso um pouquinho (Está feio que dói!):

x ( t )   =   1 2 [ v 0 i ω 0 + x 0 ] e i ω 0 t + 1 2 [ x 0 - v 0 i ω 0 ] e - i ω 0 t + F 0 2 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ( e - i ω 0 t + e i ω 0 t ) + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 ) →

x ( t )   =   1 2 x 0 [ e i ω 0 t + e - i ω 0 t ] + v 0 2 i ω 0 [ e i ω 0 t - e - i ω 0 t ] + F 0 2 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) ( e - i ω 0 t + e i ω 0 t ) + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )

Vamos utilizar a equação de Euler da forma e i x = c o s ( x ) + i s i n ( x ) , para simplificar este sistema ainda mais, beleza?

Passo 7

Temos que:

x ( t )   =   x 0 c o s ( ω 0 t ) + v 0 ω 0 s i n ( ω 0 t ) + F 0 m 1 ( a 2 + ω 0 2 ) c o s ( ω 0 t ) + F 0 m e - a t ( a 2 + ω 0 2 )

Acho que agora está suficiente (Já chega!!!). Te vejo na próxima! Tchauzinho

Resposta

No passo 7.