A força F 0 c o s ( ω t + θ 0 ) age sobre um oscilador a partir de t = 0 .

b) Se, ao contrário, x 0 = v 0 = 0 , determine a amplitude A e a fase θ do transiente em termos de F 0 ,   θ 0 .

Passo 1

Vamos continuar com a questão agora, na alternativa a) nós encontramos uma solução geral para este sistema, mas como as condições iniciais agora são diferentes, precisamos retrabalhar o sistema. E, por conveniência, vamos escrever a solução homogênea no formato equivalente:

x h ( t )   =   A c o s ( ω 1 t + θ )           ( 1 )

em que C 1 = A c o s ( θ )   e   C 2 = - A s i n ( θ ) , assim como vimos anteriormente. A solução particular obtida é da forma:

x p ( t ) = F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t + θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( ω t + θ 0 ) ]           ( 2 )

e as novas condições iniciais são:

x ( t = 0 ) = 0   e   x ˙ ( t = 0 ) = 0           ( 3 )

em que x ( t ) é dado por:

x ( t ) = A c o s ( ω 1 t + θ )   + →

→ + F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t + θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( ω t + θ 0 ) ]           ( 4 )

Vamos começar calculando a derivada disso, bastante parecido com o que fizemos antes, e aplicar as condições iniciais, belezinha?

Passo 2

A derivada é dada por:

x ˙ ( t )   =   - ω 1 A s i n ( ω 1 + θ ) + →

→ + F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ - ω ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( ω t + θ 0 ) + 2 γ ω 2 c o s ( ω t + θ 0 ) ]           ( 5 )

Vamos primeiro aplicar a condição inicial da posição, ela é da forma:

0 = A c o s ( θ )   + F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] →

→ A c o s ( θ ) = - F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ]           ( 6 )

Agora, para a velocidade, temos:

0 = - ω 1 A s i n ( θ ) + F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ - ω ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) + 2 γ ω 2 c o s ( + θ 0 ) ] →

→ A s i n ( θ ) = ω ω 1 F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]           ( 7 )

Beleza, (6) e (7), são o suficiente para acharmos as nossas constantes, vamos fazer isso!

Passo 3

Se dividirmos a equação (7) pela equação (6), temos:

t a n ( θ ) = ω ω 1 F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   - F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] = - ω ω 1 [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ]

Portanto a nossa fase é tal que:

θ   =   a r c t a n { - ω ω 1 [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] }           ( 8 )

E usando (8) na equação (7), temos:

A   =   c o s s e c { a r c t a n { - ω ω 1 [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] } }   × →

→ × ω ω 1 F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]           ( 9 )

E a questão foi isso, Uff… te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

θ   =   a r c t a n { - ω ω 1 [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] }

e

A   =   c o s s e c { a r c t a n { - ω ω 1 [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]   [ ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( θ 0 ) + 2 γ ω s i n ( θ 0 ) ] } }   × →

→ × ω ω 1 F 0 m [ ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 ] [ 2 γ ω c o s ( + θ 0 ) - ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( θ 0 ) ]